OBS : enquanto resolvia a letra a encontrei vários valores para os focos, dentre eles estava a resposta, porém não soube identificar qual seria o foco correto .
Resposta
GABARITO : a) F = ( -2 , -8/3 ) b) d : 3x +4y +125/3 = 0
Editado pela última vez por MateusQqMD em 14 Abr 2020, 20:20, em um total de 2 vezes.
Razão:arrumar título.
Diretriz: 3x + 4y = 25
A reta que contem os focos deve ser perpendicular a essa diretriz e conter o ponto F1 = (0,0)
Lembrando da condição de perpendicularidade (M.m = -1) e da equação geral da reta, chegamos na reta que contém os focos da elipse.
y = 4x/3
Agora, precisamos lembrar do 2º Teorema de Dandelin-Quetelet (basicamente, a definição das cônicas com base na sua excentricidade):
d(P,F) = e d(P,diretriz)
Ele nos deu a excentricidade da cônica, o foco e a diretriz relacionada a esse foco.
Calculamos a distância do foco à diretriz: chegamos em 5.
Todavia, o que significa esse valor?
Segundo o Teorema de Dandelin-Quetelet, podemos "converter" isso:
Observe que a distância do foco à diretriz é a distância do ponto ao foco + distância do ponto à diretriz. Fica mais fácil visualizar isso pensando no ponto como o vértice, mas lembre-se que isso é uma definição que justamente FORMA a cônica.
Por Dandelin-Quetelet, como já temos a excentricidade, temos uma relação entre essas distâncias.
Para nosso problema, precisamos encontrar a distância do foco ao ponto, o que, pela definição de elipse, será igual a c - a
Todavia, pela definição de excentricidade, sabemos que nessa elipse a = 2c.
Desse modo acabamos encontrando c (5/3) enquanto a distância do vértice à diretriz é (10/3)
Agora, precisamos encontrar o ponto que está à distância 2c do nosso foco e que pertence à reta que contém os focos, que já encontramos. (Esse único ponto será o outro foco).
[tex3]\sqrt{x^2+y^2}=\frac{100}{9} \\
mas \\
y = \frac{4x}{3}[/tex3]
[tex3]\sqrt{x^2+y^2}=\frac{100}{9} \\
mas \\
y = \frac{4x}{3}[/tex3]
Resolvendo esse sistema, encontraremos x = 2 ou -2
Todavia, pelo gráfico da elipse, pensamos:
1. Toda elipse possui duas diretrizes, sendo uma para cada foco.
2. Para simplificar, vamos focar apenas na que foi dada.
3. Essa diretriz divide o plano em dois semiplanos.
4. Os focos devem, obrigatoriamente, estar no mesmo semiplano.
5. Isso nos faz eliminar o 2, pois estaria do outro lado da diretriz.
Resolvendo a letra b, caso também seja necessária:
Agora que também encontramos o outro foco, sabemos que teremos uma reta de mesmo coeficiente angular que a outra diretriz (pois as diretrizes obrigatoriamente são paralelas) e que dista 5 do foco que encontramos.
Substituindo os valores do novo foco na equação, encontramos dois valores de c:
125/3 ou -25/3
Todavia, novamente precisamos olhar para o gráfico.
O segundo valor nos fornece uma reta que corta a elipse. Recomendo você plotar essa função no Geogebra, para ficar mais fácil
Por cortar a elipse, precisamos descartar esse valor: ele quebra a definição de elipse. (Veja o segundo Teorema de Dandelin-Quetelet e o fato de que a excentricidade da elipse está entre 0 e 1)
Concluímos que o unico valor viável para c é 125/3
Zhadnyy,
Essa questão foi do IME 1989 e resolvida da seguinte forma:
A equação da reta da outra diretriz como já calculada é y =[tex3]\frac{4x}{3}[/tex3]
O centro da elipse será a interseção das duas diretrizes que será o ponto (3,4)
Se o centro é o ponto médio dos focos, e um dos focos está na origem (0,0), o outro foco estará em (6,8) sobre a
diretriz, y = [tex3]\frac{4x}{3}[/tex3]
Acho que essa solução que você postou está incorreta
Pelo o que sei, a elipse sempre está numa seção de plano "entre as diretrizes", e as diretrizes são paralelas.
Concordo com o gabarito do Caio Guimarães
Material interessante, que aborda a parte de diretrizes em elipses
EDIT:
Observe que se tivermos a diretriz cortando a cônica, que é o que sugere essa resolução do petras , estaremos violando o 2º Teorema de Dandelin-Quetelet!
d(P,F) = e d(P,diretriz)
Se P pertence à diretriz,
d(P,F)/d(P,diretriz) = e -> tende ao infinito!!!!
A excentricidade da elipse deve estar limitada entre 0 e 1 !!!
Editado pela última vez por Deleted User 23699 em 15 Abr 2020, 11:22, em um total de 2 vezes.
Peço ajuda a alguém que também possua o livro
Na página 157 do livro, está sendo demonstrado um teorema.
Contudo, na metade para o final da página, o autor alega a multiplicação de uma equação...
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Olá HHHoppe,
Por favor, digite a expressão do jeito que ela está no livro! Assim, qualquer um poderá lhe ajudar.
Do jeito que está escrito só terá acesso quem tiver o livro! Mais ninguém terá o...
“Apuram o passo, por entre campinas ricas, onde pastam ou ruminam outros mil e mais bois. Mas os vaqueiros não esmorecem nos eias e cantigas, porque a boiada ainda tem passagens inquietantes:...
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Pode-se entender que há uma grande semelhança entre a letra A e a letra D, o que as difere é o fato que a primeira está incorreta pois não há uma preocupação em ser verosimilhante (o que faria com...
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