Olimpíadas ⇒ (IMO 1959) Equação do Segundo Grau Tópico resolvido
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Abr 2020
12
20:55
(IMO 1959) Equação do Segundo Grau
Para quais valores reais de [tex3]x[/tex3]
[tex3]\sqrt{(x+\sqrt{2x-1})}+\sqrt{(x-\sqrt{2x-1})}=A[/tex3]
Dados a) [tex3]A=\sqrt{2}[/tex3] , b) [tex3]A=1[/tex3] e c) [tex3]A=2[/tex3]
Meu racíocinio:
Sendo = [tex3]\sqrt{2x-1=}y[/tex3]
[tex3]\sqrt{ x +y}+\sqrt{x-y}=A [/tex3]
[tex3]x+y + 2\cdot\sqrt{x+y}\cdot\sqrt{x-y}+x-y= A^2[/tex3]
[tex3]2x+ 2\cdot \sqrt{(x+y)(x-y)}= A^2[/tex3]
[tex3]2x+ 2\cdot \sqrt {x^2-y^2}=A^2[/tex3]
Substituindo [tex3]y[/tex3] :
[tex3]2x+ 2\cdot \sqrt{x^2 - (\sqrt{2x-1})^2}= A^2[/tex3]
[tex3]2x+ 2\cdot \sqrt{x^2- (2x-1)}= A^2[/tex3]
[tex3]2x+ 2\cdot \sqrt{x^2- 2x+1}=A^2[/tex3]
[tex3]2(x+ \sqrt{(x-1)^2}= A^2[/tex3]
[tex3]2[x +(x-1)]\implies 2(2x-1)= A^2[/tex3]
Para [tex3]A= \sqrt{2}[/tex3] :
[tex3]2x-1=1\implies \boxed {x=1}[/tex3]
Minha pergunta, porque o gabarito da letra a é [tex3]x \in [\frac{1}{2},1][/tex3] ?
a expressão abaixo é verdadeira, onde apenas números reais positivos são admitidos para as raízes quadradas ?[tex3]\sqrt{(x+\sqrt{2x-1})}+\sqrt{(x-\sqrt{2x-1})}=A[/tex3]
Dados a) [tex3]A=\sqrt{2}[/tex3] , b) [tex3]A=1[/tex3] e c) [tex3]A=2[/tex3]
Meu racíocinio:
Sendo = [tex3]\sqrt{2x-1=}y[/tex3]
[tex3]\sqrt{ x +y}+\sqrt{x-y}=A [/tex3]
[tex3]x+y + 2\cdot\sqrt{x+y}\cdot\sqrt{x-y}+x-y= A^2[/tex3]
[tex3]2x+ 2\cdot \sqrt{(x+y)(x-y)}= A^2[/tex3]
[tex3]2x+ 2\cdot \sqrt {x^2-y^2}=A^2[/tex3]
Substituindo [tex3]y[/tex3] :
[tex3]2x+ 2\cdot \sqrt{x^2 - (\sqrt{2x-1})^2}= A^2[/tex3]
[tex3]2x+ 2\cdot \sqrt{x^2- (2x-1)}= A^2[/tex3]
[tex3]2x+ 2\cdot \sqrt{x^2- 2x+1}=A^2[/tex3]
[tex3]2(x+ \sqrt{(x-1)^2}= A^2[/tex3]
[tex3]2[x +(x-1)]\implies 2(2x-1)= A^2[/tex3]
Para [tex3]A= \sqrt{2}[/tex3] :
[tex3]2x-1=1\implies \boxed {x=1}[/tex3]
Minha pergunta, porque o gabarito da letra a é [tex3]x \in [\frac{1}{2},1][/tex3] ?
Editado pela última vez por MateusQqMD em 12 Abr 2020, 22:18, em um total de 1 vez.
Razão: arrumar título (regra 4).
Razão: arrumar título (regra 4).
- MateusQqMD
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Abr 2020
12
21:26
Re: (IMO 1959) Equação do Segundo Grau
"Minha pergunta, porque o gabarito da letra a é [tex3]x \in [\frac{1}{2},1][/tex3]
Veja você mesmo:
fonte: International Mathematical Olympiads 1959-1977, Samuel Greitzer
?"Veja você mesmo:
fonte: International Mathematical Olympiads 1959-1977, Samuel Greitzer
"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."
- MateusQqMD
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Abr 2020
12
21:27
Re: (IMO 1959) Equação do Segundo Grau
Tenho quase certeza que já comentaram esse problema aqui no fórum, mas não consegui encontrar a mensagem.
"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."
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Abr 2020
12
21:36
Re: (IMO 1959) Equação do Segundo Grau
Não entendi, pode ser mais detalhado por favor?
- MateusQqMD
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Abr 2020
12
22:14
Re: (IMO 1959) Equação do Segundo Grau
O seu erro está na passagem:
O correto é
Daí o restante é uma equação modular.
[tex3]2(x+ \sqrt{(x-1)^2}= A^2 \\ 2[x +(x-1)]\implies 2(2x-1)= A^2[/tex3]
O correto é
[tex3]2(x+ \sqrt{(x-1)^2}= A^2 \\ 2[x +|x-1|] = A^2 \implies ..[/tex3]
Daí o restante é uma equação modular.
"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."
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Abr 2020
12
22:17
Re: (IMO 1959) Equação do Segundo Grau
Isso porque [tex3]x[/tex3]
é sempre positivo?- MateusQqMD
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Abr 2020
12
22:21
Re: (IMO 1959) Equação do Segundo Grau
Não.
Para [tex3]m \in \mathbb{R},[/tex3] tem-se sempre que [tex3]\sqrt{m^2} = |m|.[/tex3]
Para [tex3]m \in \mathbb{R},[/tex3] tem-se sempre que [tex3]\sqrt{m^2} = |m|.[/tex3]
"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."
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Abr 2020
13
18:06
Re: (IMO 1959) Equação do Segundo Grau
Ainda não entendi a resolução dessa equação modular, poderia resolvê-la?
- MateusQqMD
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Abr 2020
13
20:05
Re: (IMO 1959) Equação do Segundo Grau
Tranquilo.
Continuarei a resolução a partir de [tex3]x + |x-1| = 1.[/tex3]
Note que
[tex3]\bullet \,\,\, x + (x -1) = 1 \,\,\Leftrightarrow \,\, x =1;[/tex3] como a condição [tex3]x \geq 1[/tex3] é satisfeita, então este caso possui solução [tex3]x = 1[/tex3] (única).
[tex3]\bullet \,\,\, x + (-x +1) = 1 \,\,\Leftrightarrow \,\, 1 =1;[/tex3] ou seja, a igualdade é sempre satisfeita para qualquer valor de [tex3]x < 1.[/tex3] Mas, da condição de existência do radicando [tex3](x\geq 1/2),[/tex3] os valores de [tex3]x[/tex3] que nos interessam são [tex3]1/2 \leq x < 1.[/tex3]
Portanto, para [tex3]A = \sqrt{2},[/tex3] a interseção dos casos é [tex3]1/2 \leq x \leq 1.[/tex3]
Continuarei a resolução a partir de [tex3]x + |x-1| = 1.[/tex3]
Note que
[tex3]|x-1| = \begin{cases}\begin{aligned}
x -1, \,\, \text{se} \, x \geq 1 \\
-x +1, \,\, \text{se} \, x < 1
\end{aligned}\end{cases}.[/tex3]
x -1, \,\, \text{se} \, x \geq 1 \\
-x +1, \,\, \text{se} \, x < 1
\end{aligned}\end{cases}.[/tex3]
[tex3]\bullet \,\,\, x + (x -1) = 1 \,\,\Leftrightarrow \,\, x =1;[/tex3] como a condição [tex3]x \geq 1[/tex3] é satisfeita, então este caso possui solução [tex3]x = 1[/tex3] (única).
[tex3]\bullet \,\,\, x + (-x +1) = 1 \,\,\Leftrightarrow \,\, 1 =1;[/tex3] ou seja, a igualdade é sempre satisfeita para qualquer valor de [tex3]x < 1.[/tex3] Mas, da condição de existência do radicando [tex3](x\geq 1/2),[/tex3] os valores de [tex3]x[/tex3] que nos interessam são [tex3]1/2 \leq x < 1.[/tex3]
Portanto, para [tex3]A = \sqrt{2},[/tex3] a interseção dos casos é [tex3]1/2 \leq x \leq 1.[/tex3]
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Abr 2020
13
21:13
Re: (IMO 1959) Equação do Segundo Grau
Agora sim entendi! Muitíssimo obrigado e me perdoe por tantas perguntas!
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