a) 1
b) 17
c)33
d)65
e)95
Resposta
d
Olimpíadas ⇒ (Canguru 2015) Álgebra Tópico resolvido
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Júlia030412
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Abr 2020
01
19:09
(Canguru 2015) Álgebra
Na hora do recreio, 96 crianças deram as mãos formando uma grande roda. Então uma criança começou a contar a partir do 1, seguida pelas demais, no sentido horário, até chegar à última criança, que contou 96. Cada criança que disse um número par saiu da roda. As restantes continuaram contando a partir do número 97, saindo novamente da roda todas que disseram um número par. Elas continuaram a brincadeira, da mesma forma, até que sobrou uma única criança. Que número esta criança disse na primeira rodada?
a) 1
b) 17
c)33
d)65
e)95
d
a) 1
b) 17
c)33
d)65
e)95
d
Editado pela última vez por MateusQqMD em 01 Abr 2020, 21:12, em um total de 2 vezes.
Razão: arrumar título.
Razão: arrumar título.
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MateusQqMD
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Abr 2020
01
21:18
Re: (Canguru 2015) Álgebra
Olá, Júlia030412.
Veja uma resolução presente no site da OBMEP:
"29. Alternativa D
Se há um número par de crianças ao começar uma rodada, metade delas dirá um número par e sairão da roda, sobrando a outra metade. Assim, as primeiras 6 rodadas começam com 96, 48, 24, 12, 6 e 3 crianças. Ao chegar na 6ª rodada, a princípio não sabemos se uma ou duas crianças dirão números pares, porém nós sabemos quantos números já foram contados, que são [tex3]96 + 48 +24+ 12+ 6 =186[/tex3] . Assim, na 6ª rodada, elas dirão os números 187, 188 e 189. A criança do meio sairá da roda e na 7ª rodada as duas últimas dirão os números 190 e 191.
Portanto, a criança que diz o número 191 é a última a ficar na roda. Agora basta voltar até a 1ª rodada e saber qual número esta criança disse. Observe que para voltarmos do ponto em que estamos (191) até o início da roda (1), devemos adicionar uma criança à roda para cada número par dito e um número ímpar é dito por alguém que já estava na roda. Assim começamos com a última criança dizendo 191. Em seguida, devemos adicionar uma criança para dizer o número 190 e depois a última criança diz 189. Agora, devemos adicionar duas crianças para dizer os números 188 e 186, enquanto as crianças que disseram 190 e 191 agora dirão os números 187 e 185. Até agora temos quatro crianças. No próximo passo, estas crianças dirão os números 183, 181, 179 e 177, enquanto adicionaremos mais quatro crianças para dizerem os números 184, 182, 180 e 178.
Continuando esse raciocínio, a cada passo o número de crianças dobra, com as crianças que já estavam dizendo os números ímpares e as crianças que entram dizendo os números pares. A criança que diz 191 é sempre a última a falar um número a cada passo, assim ela dirá os números [tex3]191, 191 – 2 = 189,[/tex3] [tex3]189 – 4 = 185,[/tex3] [tex3]185 – 8 = 177,[/tex3] [tex3]177 – 16 = 161,[/tex3] [tex3]161 – 32 = 129[/tex3] e [tex3]129 – 64 = 65.[/tex3] Como [tex3]65 \leq 96[/tex3] , este foi o número dito na 1ª rodada."
Fonte: https://portaldosaber.obmep.org.br/uplo ... pkhs0s.pdf (página 12)
Veja uma resolução presente no site da OBMEP:
"29. Alternativa D
Se há um número par de crianças ao começar uma rodada, metade delas dirá um número par e sairão da roda, sobrando a outra metade. Assim, as primeiras 6 rodadas começam com 96, 48, 24, 12, 6 e 3 crianças. Ao chegar na 6ª rodada, a princípio não sabemos se uma ou duas crianças dirão números pares, porém nós sabemos quantos números já foram contados, que são [tex3]96 + 48 +24+ 12+ 6 =186[/tex3] . Assim, na 6ª rodada, elas dirão os números 187, 188 e 189. A criança do meio sairá da roda e na 7ª rodada as duas últimas dirão os números 190 e 191.
Portanto, a criança que diz o número 191 é a última a ficar na roda. Agora basta voltar até a 1ª rodada e saber qual número esta criança disse. Observe que para voltarmos do ponto em que estamos (191) até o início da roda (1), devemos adicionar uma criança à roda para cada número par dito e um número ímpar é dito por alguém que já estava na roda. Assim começamos com a última criança dizendo 191. Em seguida, devemos adicionar uma criança para dizer o número 190 e depois a última criança diz 189. Agora, devemos adicionar duas crianças para dizer os números 188 e 186, enquanto as crianças que disseram 190 e 191 agora dirão os números 187 e 185. Até agora temos quatro crianças. No próximo passo, estas crianças dirão os números 183, 181, 179 e 177, enquanto adicionaremos mais quatro crianças para dizerem os números 184, 182, 180 e 178.
Continuando esse raciocínio, a cada passo o número de crianças dobra, com as crianças que já estavam dizendo os números ímpares e as crianças que entram dizendo os números pares. A criança que diz 191 é sempre a última a falar um número a cada passo, assim ela dirá os números [tex3]191, 191 – 2 = 189,[/tex3] [tex3]189 – 4 = 185,[/tex3] [tex3]185 – 8 = 177,[/tex3] [tex3]177 – 16 = 161,[/tex3] [tex3]161 – 32 = 129[/tex3] e [tex3]129 – 64 = 65.[/tex3] Como [tex3]65 \leq 96[/tex3] , este foi o número dito na 1ª rodada."
Fonte: https://portaldosaber.obmep.org.br/uplo ... pkhs0s.pdf (página 12)
"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."
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