Física III ⇒ (UnB) Modelo de Bohr Tópico resolvido

[andrezza]

No final do século XIX e início do século XX, foram propostos diversos modelos para o átomo, entre eles, os modelos de Thomson e de Rutherford. Posteriormente, o modelo de Rutherford foi aperfeiçoado por Niels Bohr, o qual assumiu que os elétrons se comportavam, em seu movimento ao redor do núcleo, como ondas com comprimento de onda λ_n=[tex3]\frac{h}{mV_n}[/tex3]

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[tex3]\frac{h}{mV_n}[/tex3]

em que m e V_n são, respectivamente, a massa e a velocidade do elétron que se encontra na órbita indicada pelo número natural n, e h é uma constante física. Essas ondas, no modelo de Bohr, obedecem à relação nλ_n=2 [tex3]\pi[/tex3]

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[tex3]\pi[/tex3]

r_n, em que r_n é o raio da órbita de índice n.
A partir das informações apresentadas no texto, e sabendo que a constante elétrica k=[tex3]\frac{1}{4\piε_o}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{4\piε_o}[/tex3]

em que E_o é a constante dielétrica do vácuo, e representando por "e" a carga do próton, julgue:

1- No modelo de Bohr, a relação nλ_n=2 [tex3]\pi[/tex3]

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[tex3]\pi[/tex3]

r_n referida no texto, está associada ao fato de que os nós e os ventres de uma onda estacionária não mudam de posição ao longo do tempo.
2-Sabendo-se que no átomo de hidrogênio no modelo de Bohr a força elétrica entre núcleo e elétron é centrípeta, é correto afirmar que, nesse modelo, r_n=n²r₁, em que r₁=[tex3]\frac{ε_oh^2}{2\pi me^2}[/tex3]

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[tex3]\frac{ε_oh^2}{2\pi me^2}[/tex3]

3-No átomo de hidrogênio no modelo de Bohr, a energia cinética do elétron é dada por [tex3]\frac{r_nke^2}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{r_nke^2}{2}[/tex3]

4-A energia total do elétron no átomo de hidrogênio no modelo de Bohr é dada por [tex3]\frac{-me^4}{4n^2ε_o^2h^2}[/tex3]

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[tex3]\frac{-me^4}{4n^2ε_o^2h^2}[/tex3]

Resposta

---

C E E E

[Tassandro]

andrezza,
O item 1 está correto.
Recomendo a leitura:https://en.m.wikipedia.org/wiki/Bohr_model
Para os itens 2 e 3, vou usar as seguintes relações:
Equação de de Broglie:[tex3]λ_n=\frac{h}{mv_n},2πr_n=nλ_n\implies mvr_n =\frac{nh}{2π}\implies v=\frac{nh}{2mr_nπ}\text{ (I)}\\
F=\frac{ke^2}{r_n^2}=\frac{mv^2}{r_n}\text{ (II)}\\
I\rightarrow II\implies r_n=n^2\frac{h^2}{4π^2mke^4}=n^2×\frac{ε_0h^2}{πme^4}\text{ (III)}[/tex3]

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[tex3]λ_n=\frac{h}{mv_n},2πr_n=nλ_n\implies mvr_n =\frac{nh}{2π}\implies v=\frac{nh}{2mr_nπ}\text{ (I)}\\
F=\frac{ke^2}{r_n^2}=\frac{mv^2}{r_n}\text{ (II)}\\
I\rightarrow II\implies r_n=n^2\frac{h^2}{4π^2mke^4}=n^2×\frac{ε_0h^2}{πme^4}\text{ (III)}[/tex3]

Logo, o valor de [tex3]r_1[/tex3]

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[tex3]r_1[/tex3]

está incorreto.
Vamos para 3:
[tex3]E_c=\frac{mv^2}{2}=\frac{ke^2}{2r_n},usando \space II[/tex3]

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[tex3]E_c=\frac{mv^2}{2}=\frac{ke^2}{2r_n},usando \space II[/tex3]

. Logo, 3 é falso.
Vamos para 4:
[tex3]E_t=E_c+E_p=\frac{ke^2}{2r_n}+\left(-\frac{ke^2}{r_n}\right)=-\frac{ke^2}{r_n}[/tex3]

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[tex3]E_t=E_c+E_p=\frac{ke^2}{2r_n}+\left(-\frac{ke^2}{r_n}\right)=-\frac{ke^2}{r_n}[/tex3]

Usando [tex3]III,k=\frac{1}{4πε_0},[/tex3]

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[tex3]III,k=\frac{1}{4πε_0},[/tex3]

vamos encontrar que [tex3]E_t=-\frac{me^4}{8ε_0^2n^2h^2},[/tex3]

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[tex3]E_t=-\frac{me^4}{8ε_0^2n^2h^2},[/tex3]

portanto, 4 é errado.
Espero ter ajudado!