Olimpíadas ⇒ Representação decimal de fração Tópico resolvido

[poisedom]

Questão 34 do livro do Problemas selecionados de Matemática do Gandhi

A representação decimal de [tex3]\dfrac{m}{n}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\dfrac{m}{n}[/tex3]

, onde [tex3]m[/tex3]

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[tex3]m[/tex3]

e [tex3]n[/tex3]

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[tex3]n[/tex3]

são inteiros positivos primos entre si e [tex3]m<n[/tex3]

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[tex3]m<n[/tex3]

, contém os algarismos [tex3]2[/tex3]

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[tex3]2[/tex3]

,[tex3]5[/tex3]

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[tex3]5[/tex3]

e [tex3]1[/tex3]

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[tex3]1[/tex3]

consecutivamente e nessa ordem. O menor valor de [tex3]n[/tex3]

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[tex3]n[/tex3]

para o qual isso é possível é:
[tex3](A)121[/tex3]

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[tex3](A)121[/tex3]

[tex3](B)123[/tex3]

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[tex3](B)123[/tex3]

[tex3](C)125[/tex3]

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[tex3](C)125[/tex3]

[tex3](D)127[/tex3]

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[tex3](D)127[/tex3]

[tex3](E)129[/tex3]

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[tex3](E)129[/tex3]

Link do livro https://www.lcm.com.br/site/livros/deta ... atica.html

Resposta

---

Gabarito Letra D

[Tassandro]

Note que a parte decimal de [tex3]\frac{m}{n}[/tex3]

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[tex3]\frac{m}{n}[/tex3]

começa com os dígitos [tex3]0.251...[/tex3]

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[tex3]0.251...[/tex3]

. Então, basta resolvermos a inequação

[tex3]251n < 1000m < 252n[/tex3]

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[tex3]251n < 1000m < 252n[/tex3]

[tex3]n < 250(4m-n) < 2n[/tex3]

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[tex3]n < 250(4m-n) < 2n[/tex3]

O menor valor de [tex3]4m-n[/tex3]

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[tex3]4m-n[/tex3]

é [tex3]1[/tex3]

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[tex3]1[/tex3]

, e temos que [tex3]250 < 2n \implies 125 < n[/tex3]

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[tex3]250 < 2n \implies 125 < n[/tex3]

. Como [tex3]4m-n = 1[/tex3]

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[tex3]4m-n = 1[/tex3]

precisamos que [tex3]n+1[/tex3]

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[tex3]n+1[/tex3]

seja divisível por [tex3]4[/tex3]

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[tex3]4[/tex3]

, e isso ocorre primeiramente para [tex3]n = \boxed{ 127 }[/tex3]

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[tex3]n = \boxed{ 127 }[/tex3]

.

(Logo, [tex3]m = 32[/tex3]

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[tex3]m = 32[/tex3]

e a fração é [tex3]\frac{32}{127}\approx 0.2519685...[/tex3]

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[tex3]\frac{32}{127}\approx 0.2519685...[/tex3]

)