Física I ⇒ Distância do navio ao porto - Apostila Renato Brito Tópico resolvido

[mleonardo]

Um navio move-se com velocidade [tex3]V_n[/tex3]

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[tex3]V_n[/tex3]

se afastando do porto. Num certo instante, um sinal sonoro é emitido do porto simultaneamente no ar e na água. Ele se propaga no ar com velocidade [tex3]V_r[/tex3]

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[tex3]V_r[/tex3]

e na água com velocidade [tex3]V_g[/tex3]

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[tex3]V_g[/tex3]

, com [tex3]Vg>V_r[/tex3]

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[tex3]Vg>V_r[/tex3]

. No navio, os sons incidentes através do ar e da água são recebidos com um intervalo de tempo [tex3]\Delta t[/tex3]

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[tex3]\Delta t[/tex3]

entre eles. Determine a que distância do porto encontrava-se o navio ao receber o primeiro sinal.

Resposta

---

[tex3]d=\frac{V_g(V_r-V_n)\Delta t}{(V_g-V_r)}[/tex3]

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[tex3]d=\frac{V_g(V_r-V_n)\Delta t}{(V_g-V_r)}[/tex3]

[Planck]

Olá mleonardo,

O sinal na água irá percorrer [tex3]d[/tex3]

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[tex3]d[/tex3]

com uma velocidade [tex3]V_g[/tex3]

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[tex3]V_g[/tex3]

, em um tempo [tex3]t_1 \, : \, t_1 < t_2[/tex3]

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[tex3]t_1 \, : \, t_1 < t_2[/tex3]

. Disso, vem que:

[tex3]V_g \cdot t_1 = d \, \, \implies \, \, t_1 = \frac{d}{V_g}[/tex3]

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[tex3]V_g \cdot t_1 = d \, \, \implies \, \, t_1 = \frac{d}{V_g}[/tex3]

Enquanto isso, no ar:

[tex3]V_r \cdot t_2 = d-x \, \, \implies \, \, t_2 = \frac{d-x}{V_r}[/tex3]

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[tex3]V_r \cdot t_2 = d-x \, \, \implies \, \, t_2 = \frac{d-x}{V_r}[/tex3]

O espaço percorrido pelo navio em um tempo [tex3]t_3 \, \, \implies \, \, \, t_3 = t_2 - t_1[/tex3]

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[tex3]t_3 \, \, \implies \, \, \, t_3 = t_2 - t_1[/tex3]

:

[tex3]x = V_n \cdot t_3[/tex3]

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[tex3]x = V_n \cdot t_3[/tex3]

Em [tex3]t_3 = t_2 - t_1[/tex3]

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[tex3]t_3 = t_2 - t_1[/tex3]

, ficamos com:

[tex3]t_3 = t_2 - t_1 \, \, \iff \, \, t_3 = \frac{(d-V_n\cdot t_3)}{V_r} - \frac{d}{V_g} \, \, \implies \, \, t_3 = \frac{d \cdot V_g-V_n \cdot t_3 \cdot V_g - d \cdot V_r}{V_r \cdot V_g}[/tex3]

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[tex3]t_3 = t_2 - t_1 \, \, \iff \, \, t_3 = \frac{(d-V_n\cdot t_3)}{V_r} - \frac{d}{V_g} \, \, \implies \, \, t_3 = \frac{d \cdot V_g-V_n \cdot t_3 \cdot V_g - d \cdot V_r}{V_r \cdot V_g}[/tex3]

Manipulando a equação, obtemos que:

[tex3]V_r \cdot V_g \cdot t_3 = d \cdot V_g-V_n \cdot t_3 \cdot V_g - d \cdot V_r \, \, \iff \, \, d \cdot V_g - d \cdot V_r = V_r \cdot V_g \cdot t_3 + V_n \cdot t_3 \cdot V_g \, \, \iff \, \, d \cdot (V_g - V_r) = V_g \cdot t_3 \cdot (V_r + V_n) [/tex3]

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[tex3]V_r \cdot V_g \cdot t_3 = d \cdot V_g-V_n \cdot t_3 \cdot V_g - d \cdot V_r \, \, \iff \, \, d \cdot V_g - d \cdot V_r = V_r \cdot V_g \cdot t_3 + V_n \cdot t_3 \cdot V_g \, \, \iff \, \, d \cdot (V_g - V_r) = V_g \cdot t_3 \cdot (V_r + V_n) [/tex3]

Portanto:

[tex3]d \cdot (V_g - V_r) = V_g \cdot t_3 \cdot (V_r + V_n) \, \, \iff \, \, \boxed{_{_{{⠀}_{⠀}}} {d = \frac{V_g \cdot t_3 \cdot (V_r + V_n)}{(V_g - V_r)_{_{{⠀}_{⠀}}} } }^{{⠀}^{⠀}} }[/tex3]

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[tex3]d \cdot (V_g - V_r) = V_g \cdot t_3 \cdot (V_r + V_n) \, \, \iff \, \, \boxed{_{_{{⠀}_{⠀}}} {d = \frac{V_g \cdot t_3 \cdot (V_r + V_n)}{(V_g - V_r)_{_{{⠀}_{⠀}}} } }^{{⠀}^{⠀}} }[/tex3]

Um sinal ficou diferente, talvez eu tenha errado alguma passagem.