Uma função quadrática tem por imagem o intervalo ][tex3]-\infty [/tex3]
,3]. A sua representação gráfica num plano cartesiano é uma parábola, a reta x = 2 é o eixo de simetria e a distância entre os zeros da função vale 6.
A) Quais as coordenadas do vértice da parábola?
B) Faça o gráfico destra função, no sistema de eixos abaixo, identificando os pontos de interseção com os eixos e o vértice.
C) Qual a expressão da função?
Ensino Médio ⇒ (CEFET - 2000) Função Quadrática Tópico resolvido
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HenryInfa
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Jan 2020
27
12:20
(CEFET - 2000) Função Quadrática
"O ruim é que eu sou o teu freguês, tua vítima inquieta e ofegante que só descansa quando te aniquila e te transfere para o outro extremo. Para o teu azar eu tenho no meu peito o antídoto construído pelos teus filhos: A persistência."
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deOliveira
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Jan 2020
27
13:27
Re: (CEFET - 2000) Função Quadrática
A imagem da função é [tex3]]-\infty,3][/tex3]
dessa forma podemos concluir que a função tem concavidade para baixo e o maior valor que ela assume é [tex3]3[/tex3]
e portanto [tex3]y_v=3[/tex3]
.
E como a reta [tex3]x=2[/tex3] é o eixo de simetria temos que [tex3]x_v=2[/tex3] .
[tex3]\therefore \boxed{\boxed{V=(2,3)}}[/tex3]
A distância entre os zeros da função é [tex3]6[/tex3] , então cada um dos zeros dista [tex3]3[/tex3] do eixo de simetria.
[tex3]\implies x_0=-1[/tex3] e [tex3]x_1=5[/tex3] são os zeros da função.
Sendo a função [tex3]f(x)=ax^2+bx+c[/tex3] , temos
[tex3]\begin{cases}a-b+c=0\\4a+2b+c=3\\25a+5b+c=0\end{cases}\sim\begin{cases}a-b+c=0\\6b-3c=3\\30b-24c=0\end{cases}\sim\\\begin{cases}a-b+c=0\\2b-c=1\\5b-4c=0\end{cases}\sim\begin{cases}a-b+c=0\\2b-c=1\\-3b=-4\implies b=\frac43\end{cases}\\\implies2\cdot\frac43-c=1\iff c=\frac83-1\iff c=\frac53\\\implies a-\frac43+\frac53=0\iff a=-\frac13\\\therefore\ \boxed{\boxed{f(x)=-\frac13x^2+\frac34x+\frac53}}[/tex3]
Espero ter ajudado 
.
E como a reta [tex3]x=2[/tex3] é o eixo de simetria temos que [tex3]x_v=2[/tex3] .
[tex3]\therefore \boxed{\boxed{V=(2,3)}}[/tex3]
A distância entre os zeros da função é [tex3]6[/tex3] , então cada um dos zeros dista [tex3]3[/tex3] do eixo de simetria.
[tex3]\implies x_0=-1[/tex3] e [tex3]x_1=5[/tex3] são os zeros da função.
Sendo a função [tex3]f(x)=ax^2+bx+c[/tex3] , temos
[tex3]\begin{cases}a-b+c=0\\4a+2b+c=3\\25a+5b+c=0\end{cases}\sim\begin{cases}a-b+c=0\\6b-3c=3\\30b-24c=0\end{cases}\sim\\\begin{cases}a-b+c=0\\2b-c=1\\5b-4c=0\end{cases}\sim\begin{cases}a-b+c=0\\2b-c=1\\-3b=-4\implies b=\frac43\end{cases}\\\implies2\cdot\frac43-c=1\iff c=\frac83-1\iff c=\frac53\\\implies a-\frac43+\frac53=0\iff a=-\frac13\\\therefore\ \boxed{\boxed{f(x)=-\frac13x^2+\frac34x+\frac53}}[/tex3]
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.
Editado pela última vez por deOliveira em 27 Jan 2020, 13:28, em um total de 1 vez.
Saudações.
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erihh3
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Jan 2020
27
13:44
Re: (CEFET - 2000) Função Quadrática
O vértice fica no eixo de simetria e já que o ponto máximo ou mínimo local de uma parábola fica nele também, já da pra responder a letra a.
a) (2,3)
c)
As raízes são simétricas em relação ao eixo de simetria, que é em x=2. Ou seja, a distância de uma raiz [tex3]x_1[/tex3] para x=2 é igual a raiz [tex3]x_2[/tex3] para x=2. Como a distância entre elas é 6, a distância entre elas e o eixo de simetria é a metade disso. Portanto, [tex3]x_1=2-3=-1[/tex3] e [tex3]x_2=2+3=5[/tex3]
Portanto, sabe-se que a equação pode ser escrita como [tex3]P(x)=a(x+1)(x-5)[/tex3] . Temos um ponto da parábola que foi o encontrado na letra a, que é o vértice da mesma (2,3). Vamos usá-lo.
[tex3]P(2)=a(3)(-3)=3\Rightarrow a=-\frac{1}{3}[/tex3]
Portanto, a função é escrita como [tex3]P(x)=-\frac{1}{3}(x+1)(x-5)[/tex3] ou [tex3]P(x)=-\frac{1}{3}(x^2-4x-5)[/tex3]
b) Será uma parábola com concavidade para baixo e você deve sinalizar as raízes [tex3]x_1[/tex3] e [tex3]x_2[/tex3] e também o vértice, que foi encontrado na letra a.
a) (2,3)
c)
As raízes são simétricas em relação ao eixo de simetria, que é em x=2. Ou seja, a distância de uma raiz [tex3]x_1[/tex3] para x=2 é igual a raiz [tex3]x_2[/tex3] para x=2. Como a distância entre elas é 6, a distância entre elas e o eixo de simetria é a metade disso. Portanto, [tex3]x_1=2-3=-1[/tex3] e [tex3]x_2=2+3=5[/tex3]
Portanto, sabe-se que a equação pode ser escrita como [tex3]P(x)=a(x+1)(x-5)[/tex3] . Temos um ponto da parábola que foi o encontrado na letra a, que é o vértice da mesma (2,3). Vamos usá-lo.
[tex3]P(2)=a(3)(-3)=3\Rightarrow a=-\frac{1}{3}[/tex3]
Portanto, a função é escrita como [tex3]P(x)=-\frac{1}{3}(x+1)(x-5)[/tex3] ou [tex3]P(x)=-\frac{1}{3}(x^2-4x-5)[/tex3]
b) Será uma parábola com concavidade para baixo e você deve sinalizar as raízes [tex3]x_1[/tex3] e [tex3]x_2[/tex3] e também o vértice, que foi encontrado na letra a.
Ciclo Básico - IME
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