Dê uma possível equação de [tex3]r[/tex3] e uma tangente comum às duas circunferências.
Resposta
[tex3]x-\sqrt{3}y=1[/tex3]
[tex3]x+\sqrt{3}y=4[/tex3]
Ensino Médio ⇒ Geometría Analítica - Retas e Circunferências Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jan 2020
22
18:43
Geometría Analítica - Retas e Circunferências
Seja [tex3]PT[/tex3]
um segmento de reta tangente a circunferência [tex3]x^2+y^2=4[/tex3]
no ponto [tex3]P(\sqrt{3}, \ 1)[/tex3]
. Uma reta [tex3]r[/tex3]
perpendicular à [tex3]PT[/tex3]
é tangente a circunferência [tex3](x-3)^2+y^2=1[/tex3]
.
Dê uma possível equação de [tex3]r[/tex3] e uma tangente comum às duas circunferências.
[tex3]x-\sqrt{3}y=1[/tex3]
[tex3]x+\sqrt{3}y=4[/tex3]
Dê uma possível equação de [tex3]r[/tex3] e uma tangente comum às duas circunferências.
[tex3]x-\sqrt{3}y=1[/tex3]
[tex3]x+\sqrt{3}y=4[/tex3]
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snooplammer 
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Jan 2020
23
01:20
Re: Geometría Analítica - Retas e Circunferências
Essa questão tem uma pegadinha, o interessante é saber porque a pegadinha é uma pegadinha.
[tex3]x^2+y^2=4[/tex3]
Derivando implicitamente
[tex3]y'=-\frac{x}{y}[/tex3]
[tex3]P(\sqrt{3}, \ 1)[/tex3]
[tex3]y'=-\sqrt{3}[/tex3]
Retas perpendiculares [tex3]-\sqrt{3}\cdot m_r=-1[/tex3]
[tex3]m_r=\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex3]
Então ele quer a reta tangente à [tex3](x-3)^2+y^2=1[/tex3] com coeficiente angular [tex3]m_r=\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex3]
Derivando implicitamente [tex3](x-3)^2+y^2=1[/tex3]
[tex3]2(3-x)+2yy'=0[/tex3]
[tex3]y'=\frac{3-x}{y}[/tex3]
Mas, [tex3]m_r=\frac{\sqrt{3}}{3}=y'[/tex3]
[tex3]\frac{3-x}{y} = \frac{\sqrt{3}}{3}[/tex3]
Entretanto, observe que essa equação da reta não é tangente à circunferência dada e nem perpendicular ao segmento PT
Tem algo de errado, certo? Onde e por que?
Essa é uma pergunta que pode ser bem difícil, confesso que não sei responder com clareza ainda o motivo do erro...
Mas, podemos resolver a questão por um outro modo.
Sabemos que [tex3]y=\frac{x\sqrt3}{3}+n[/tex3]
Substitua y em [tex3](x-3)^2+y^2=1[/tex3] e faça [tex3]\Delta = 0[/tex3] .
[tex3]x^2+y^2=4[/tex3]
Derivando implicitamente
[tex3]y'=-\frac{x}{y}[/tex3]
[tex3]P(\sqrt{3}, \ 1)[/tex3]
[tex3]y'=-\sqrt{3}[/tex3]
Retas perpendiculares [tex3]-\sqrt{3}\cdot m_r=-1[/tex3]
[tex3]m_r=\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex3]
Então ele quer a reta tangente à [tex3](x-3)^2+y^2=1[/tex3] com coeficiente angular [tex3]m_r=\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex3]
Derivando implicitamente [tex3](x-3)^2+y^2=1[/tex3]
[tex3]2(3-x)+2yy'=0[/tex3]
[tex3]y'=\frac{3-x}{y}[/tex3]
Mas, [tex3]m_r=\frac{\sqrt{3}}{3}=y'[/tex3]
[tex3]\frac{3-x}{y} = \frac{\sqrt{3}}{3}[/tex3]
Entretanto, observe que essa equação da reta não é tangente à circunferência dada e nem perpendicular ao segmento PT
Tem algo de errado, certo? Onde e por que?
Essa é uma pergunta que pode ser bem difícil, confesso que não sei responder com clareza ainda o motivo do erro...
Mas, podemos resolver a questão por um outro modo.
Sabemos que [tex3]y=\frac{x\sqrt3}{3}+n[/tex3]
Substitua y em [tex3](x-3)^2+y^2=1[/tex3] e faça [tex3]\Delta = 0[/tex3] .
Jan 2020
23
08:47
Re: Geometría Analítica - Retas e Circunferências
snooplammer (e outras pessoas), eu tentei:
1. Achar o coeficiente da reta r e fazer uma equação genérica para ela
2. Montar um sistema com as equações:
i) equação em que a distância de r ao centro da circunferência 2 é igual ao raio dessa circunferência
ii) equação em que um ponto (x; y) qualquer pertence à circunferência 2
Em que as minhas incógnitas seriam as coordenadas (x; y) desse ponto. Mas eu empaquei exatamente nesse ponto, cheguei num sistema particularmente chato (e díficil?) de se resolver. Estaria errado o que fiz?
1. Achar o coeficiente da reta r e fazer uma equação genérica para ela
2. Montar um sistema com as equações:
i) equação em que a distância de r ao centro da circunferência 2 é igual ao raio dessa circunferência
ii) equação em que um ponto (x; y) qualquer pertence à circunferência 2
Em que as minhas incógnitas seriam as coordenadas (x; y) desse ponto. Mas eu empaquei exatamente nesse ponto, cheguei num sistema particularmente chato (e díficil?) de se resolver. Estaria errado o que fiz?
"Dizem que não existe almoço grátis. Mas o universo é o derradeiro almoço grátis"
Alan Guth
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snooplammer
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Jan 2020
23
10:59
Re: Geometría Analítica - Retas e Circunferências
mcarvalho,
Após o passo "1." substitua essa equação genérica da reta na equação da circunferência, você vai ter uma equação quadrática em x. E como a solução tem que ser única, então o [tex3]\Delta[/tex3] tem que ser igual a 0.
Após o passo "1." substitua essa equação genérica da reta na equação da circunferência, você vai ter uma equação quadrática em x. E como a solução tem que ser única, então o [tex3]\Delta[/tex3] tem que ser igual a 0.
Última edição: snooplammer (Qui 23 Jan, 2020 11:00). Total de 1 vez.
Jan 2020
23
11:59
Re: Geometría Analítica - Retas e Circunferências
Ah, acaba chegando na sua resolução então. Obrigado!
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Alan Guth
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Jan 2020
23
14:55
Re: Geometría Analítica - Retas e Circunferências
Substituições para achar a equação da reta tangente a uma cônica no ponto [tex3](x_0,y_0)[/tex3]
:
[tex3]x^2\rightarrow xx_0,\space\space y^2\rightarrow yy_0,\space\space x\rightarrow\frac{x+x_0}{2},\space\space y\rightarrow \frac{y+y_0}{2}[/tex3]
Circunferência [tex3]\lambda\text:\space x^2+y^2=4[/tex3] , centro [tex3]C(0,0)[/tex3] raio [tex3]R=2[/tex3]
Circunferência [tex3]\alpha\text:\space (x-3)^2+y^2=1[/tex3] , centro [tex3]C'(3,0)[/tex3] raio [tex3]R'=1[/tex3]
Reta [tex3]s[/tex3] tangente a [tex3]\lambda[/tex3] pelo ponto [tex3]P(\sqrt3,1)[/tex3] :
[tex3]xx_p+yy_p=4[/tex3]
[tex3]s\text:\space y=-\sqrt3x+4[/tex3]
[tex3]m_s=-\sqrt3[/tex3]
Reta [tex3]r[/tex3] tangente a [tex3]\alpha[/tex3] (duas possibilidades) é perpendicular a [tex3]s[/tex3] :
[tex3]s\perp r \rightarrow m_s\cdot m_r=-1\rightarrow m_r=\frac{\sqrt3}{3}[/tex3]
[tex3]r\text:\space y=\frac{\sqrt3}{3}x+k[/tex3] , forma geral [tex3]r\text:\space\sqrt3x-3y+3k=0[/tex3]
Para [tex3]r[/tex3] ser tangente a [tex3]\alpha[/tex3] sua distância ao centro [tex3]C'[/tex3] deve ser igual ao raio [tex3]R'[/tex3] :
[tex3]d_{(r,\space C')}=R'=1[/tex3]
[tex3]\frac{|\sqrt3\cdot3-3\cdot0+3k|}{\sqrt{(\sqrt3)^2+(-3)^2}}=1[/tex3]
[tex3]\frac{|3\sqrt3+3k|}{2\sqrt{3}}=1[/tex3]
[tex3]3k=\pm2\sqrt3-3\sqrt3[/tex3]
[tex3]\therefore\space k=-\frac{5\sqrt3}{3}\space[/tex3] ou [tex3]\space-\frac{\sqrt3}{3}[/tex3]
Assim encontramos as retas tangentes [tex3]\boxed{r\text:\space y=\frac{\sqrt3}{3}x-\frac{5\sqrt3}{3},\space r'\text:\space y=\frac{\sqrt3}{3}x-\frac{\sqrt3}{3}}[/tex3] representadas abaixo em rosa.
Para a segunda pergunta vamos desenhar as duas circunferências, traçar as tangentes comuns e utilizar geometria plana:
(as tangentes estão mal desenhadas, o ponto E deveria estar em x = 6)
Traçando os raios [tex3]R=2[/tex3]
e [tex3]R'=1[/tex3]
até os pontos de tangência [tex3]A[/tex3]
e [tex3]B[/tex3]
formamos o segmento [tex3]\overline{AB}[/tex3]
, olhando para o trapézio retângulo [tex3]ABC'C[/tex3]
podemos "arrastar" o segmento [tex3]\overline{AB}[/tex3]
até o ponto [tex3]C'[/tex3]
formando o triângulo retângulo [tex3]\triangle DC'C[/tex3]
que é semelhante ao [tex3]\triangle AEC[/tex3]
maior.
Aplicando pitágoras no [tex3]\triangle DC'C[/tex3] encontramos [tex3]\overline{DC'}=2\sqrt2[/tex3] . O que nos interessa aqui é o ângulo [tex3]\angle DC'C=\angle AEC=\theta[/tex3] para encontrar os coeficientes angulares das retas tangetes, por trigonometria no [tex3]\triangle DC'C[/tex3] temos [tex3]\tan\theta=\frac{1}{2\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{4}[/tex3] .
Como sabemos, o coeficiente angular [tex3]m_t[/tex3] da reta [tex3]t[/tex3] é a tangente do ângulo que ela faz com o eixo x, ou seja, [tex3]m_t=\tan(180\degree-\theta)=-\tan\theta=-\frac{\sqrt2}{4}[/tex3] . Analogamente para a outra reta tangente [tex3]t'[/tex3] temos que [tex3]m_{t'}=\tan(180\degree+\theta)=\tan\theta=\frac{\sqrt2}{4}[/tex3] .
Por semelhança podemos concluir que [tex3]\overline{C'E}=3[/tex3] e portanto [tex3]\overline{CE}=6[/tex3] , descobrindo assim o ponto [tex3]E(6,0)[/tex3] que é a interseção das duas retas tangentes [tex3]t[/tex3] e [tex3]t'[/tex3] . Finalmente, com o ponto [tex3]E[/tex3] e os coeficientes angulares encontrados acima podemos usar a equação rápida da reta:
[tex3]y-0=m_t(x-6)[/tex3]
[tex3]\boxed{t\text:\space y=-\frac{\sqrt2}{4}x+\frac{3\sqrt2}{2}}[/tex3]
[tex3]y-0=m_{t'}(x-6)[/tex3]
[tex3]\boxed{t'\text:\space y=\frac{\sqrt2}{4}x-\frac{3\sqrt2}{2}}[/tex3]
Existe também a tangente interna comum, que é a reta [tex3]x=2[/tex3] representada abaixo em vermelho.
[tex3]x^2\rightarrow xx_0,\space\space y^2\rightarrow yy_0,\space\space x\rightarrow\frac{x+x_0}{2},\space\space y\rightarrow \frac{y+y_0}{2}[/tex3]
Circunferência [tex3]\lambda\text:\space x^2+y^2=4[/tex3] , centro [tex3]C(0,0)[/tex3] raio [tex3]R=2[/tex3]
Circunferência [tex3]\alpha\text:\space (x-3)^2+y^2=1[/tex3] , centro [tex3]C'(3,0)[/tex3] raio [tex3]R'=1[/tex3]
Reta [tex3]s[/tex3] tangente a [tex3]\lambda[/tex3] pelo ponto [tex3]P(\sqrt3,1)[/tex3] :
[tex3]xx_p+yy_p=4[/tex3]
[tex3]s\text:\space y=-\sqrt3x+4[/tex3]
[tex3]m_s=-\sqrt3[/tex3]
Reta [tex3]r[/tex3] tangente a [tex3]\alpha[/tex3] (duas possibilidades) é perpendicular a [tex3]s[/tex3] :
[tex3]s\perp r \rightarrow m_s\cdot m_r=-1\rightarrow m_r=\frac{\sqrt3}{3}[/tex3]
[tex3]r\text:\space y=\frac{\sqrt3}{3}x+k[/tex3] , forma geral [tex3]r\text:\space\sqrt3x-3y+3k=0[/tex3]
Para [tex3]r[/tex3] ser tangente a [tex3]\alpha[/tex3] sua distância ao centro [tex3]C'[/tex3] deve ser igual ao raio [tex3]R'[/tex3] :
[tex3]d_{(r,\space C')}=R'=1[/tex3]
[tex3]\frac{|\sqrt3\cdot3-3\cdot0+3k|}{\sqrt{(\sqrt3)^2+(-3)^2}}=1[/tex3]
[tex3]\frac{|3\sqrt3+3k|}{2\sqrt{3}}=1[/tex3]
[tex3]3k=\pm2\sqrt3-3\sqrt3[/tex3]
[tex3]\therefore\space k=-\frac{5\sqrt3}{3}\space[/tex3] ou [tex3]\space-\frac{\sqrt3}{3}[/tex3]
Assim encontramos as retas tangentes [tex3]\boxed{r\text:\space y=\frac{\sqrt3}{3}x-\frac{5\sqrt3}{3},\space r'\text:\space y=\frac{\sqrt3}{3}x-\frac{\sqrt3}{3}}[/tex3] representadas abaixo em rosa.
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(as tangentes estão mal desenhadas, o ponto E deveria estar em x = 6)
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Aplicando pitágoras no [tex3]\triangle DC'C[/tex3] encontramos [tex3]\overline{DC'}=2\sqrt2[/tex3] . O que nos interessa aqui é o ângulo [tex3]\angle DC'C=\angle AEC=\theta[/tex3] para encontrar os coeficientes angulares das retas tangetes, por trigonometria no [tex3]\triangle DC'C[/tex3] temos [tex3]\tan\theta=\frac{1}{2\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{4}[/tex3] .
Como sabemos, o coeficiente angular [tex3]m_t[/tex3] da reta [tex3]t[/tex3] é a tangente do ângulo que ela faz com o eixo x, ou seja, [tex3]m_t=\tan(180\degree-\theta)=-\tan\theta=-\frac{\sqrt2}{4}[/tex3] . Analogamente para a outra reta tangente [tex3]t'[/tex3] temos que [tex3]m_{t'}=\tan(180\degree+\theta)=\tan\theta=\frac{\sqrt2}{4}[/tex3] .
Por semelhança podemos concluir que [tex3]\overline{C'E}=3[/tex3] e portanto [tex3]\overline{CE}=6[/tex3] , descobrindo assim o ponto [tex3]E(6,0)[/tex3] que é a interseção das duas retas tangentes [tex3]t[/tex3] e [tex3]t'[/tex3] . Finalmente, com o ponto [tex3]E[/tex3] e os coeficientes angulares encontrados acima podemos usar a equação rápida da reta:
[tex3]y-0=m_t(x-6)[/tex3]
[tex3]\boxed{t\text:\space y=-\frac{\sqrt2}{4}x+\frac{3\sqrt2}{2}}[/tex3]
[tex3]y-0=m_{t'}(x-6)[/tex3]
[tex3]\boxed{t'\text:\space y=\frac{\sqrt2}{4}x-\frac{3\sqrt2}{2}}[/tex3]
Existe também a tangente interna comum, que é a reta [tex3]x=2[/tex3] representada abaixo em vermelho.
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Última edição: lookez (Qui 23 Jan, 2020 15:24). Total de 4 vezes.
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