Olimpíadas ⇒ Sistema de Equações Tópico resolvido

[goncalves3718]

Mostre que a única solução do sistema:

[tex3]\begin{cases}
x_1+x_2+x_3=0 \\
x_2+x_3+x_4=0 \\
x_3+x_4+x_5=0 \\
.\\
.\\
.\\
x_{98}+x_{99}+x_{100}= 0 \\
x_{99}+x_{100}+x_1=0 \\
x_{100}+x_1+x_2=0
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
x_1+x_2+x_3=0 \\
x_2+x_3+x_4=0 \\
x_3+x_4+x_5=0 \\
.\\
.\\
.\\
x_{98}+x_{99}+x_{100}= 0 \\
x_{99}+x_{100}+x_1=0 \\
x_{100}+x_1+x_2=0
\end{cases}[/tex3]

é [tex3]x_1=x_2=x_3=...=x_{99}=x_{100}=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x_1=x_2=x_3=...=x_{99}=x_{100}=0[/tex3]

[leozitz]

soomando todas as equações descobrimos que
[tex3]x_1 + x_2 + ... + x_{100} = 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x_1 + x_2 + ... + x_{100} = 0[/tex3]

agora vamos somar equaçoes "disjuntas"
[tex3]x_1 + x_2 + x_3 = 0, x_4 + x_5 +x_6 = 0, ... +, x_{97} + x_{98} + x_{99}= 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x_1 + x_2 + x_3 = 0, x_4 + x_5 +x_6 = 0, ... +, x_{97} + x_{98} + x_{99}= 0[/tex3]

note que cada variavel aparece somente 1 vez
dessa forma fica claro que [tex3]x_{100} = 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x_{100} = 0[/tex3]

podemos fazer a mesma coisa, deixando o x_1 de foora
[tex3]x_2 + x_3 + x_4 = 0, x_5 + x_6 + x_7 = 0, ..., x_{98} + x_{99} + x_{100} = 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x_2 + x_3 + x_4 = 0, x_5 + x_6 + x_7 = 0, ..., x_{98} + x_{99} + x_{100} = 0[/tex3]

somando tudo [tex3]x_1 = 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x_1 = 0[/tex3]

ai usando a última equação vemos que x_2 = 0
e depois podemos verificar que em cada equação começando pelas primeiras vamos descobrir que 2 variáveis são 0 e a soma das 3 são 0 então a terceira também deve ser 0
e com isso concluímos que todos os números devem ser 0