Pré-Vestibular ⇒ (FGV-SP) Função do 2º grau Tópico resolvido

[thetruthFMA]

Sejam f e g funções quadráticas, com f(x) = ax² + bx + c.
Sabe-se que o gráfico de g é simétrico ao de f em relação ao eixo y, como mostra a figura.

Screenshot_2020-01-15-10-44-55.jpg (9.46 KiB) Exibido 2210 vezes

Os pontos P e Q localizam-se nos maiores zeros das funções f e g, e o ponto R é o intercepto de f e g com o eixo y. Portanto, a área do triângulo PQR, em função dos
parâmetros a, b e c da função f, é:

Resposta

---

-b.c/2a

[mcarvalho]

Perceba que, como f e g são simétricas, teremos f(x) = g(-x). Assim, se g é da forma mx²+nx+p, teremos:
[tex3]f(x)=g(-x)\rightarrow ax^2+bx+c=mx^2-nx+p[/tex3]

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[tex3]f(x)=g(-x)\rightarrow ax^2+bx+c=mx^2-nx+p[/tex3]

Comparando termo-a-termo, segue: a=m, b=-n, c=p, portanto g(x)=ax²-bx+c.

O ponto P é o maior zero de f, então: [tex3]P(\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a};0)[/tex3]

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[tex3]P(\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a};0)[/tex3]

. O ponto Q é o maior zero de g, então: [tex3]P(\frac{+b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a};0)[/tex3]

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[tex3]P(\frac{+b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a};0)[/tex3]

. O ponto R é quando [tex3]x=0\rightarrow f(x)=g(x)=c[/tex3]

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[tex3]x=0\rightarrow f(x)=g(x)=c[/tex3]

.

O triângulo PQR tem base xQ-xP e altura yR. [tex3]x_p-x_q=\frac{-b+\sqrt{\Delta}-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-b}{a}[/tex3]

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[tex3]x_p-x_q=\frac{-b+\sqrt{\Delta}-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-b}{a}[/tex3]

.

A área será [tex3]A=\frac{(x_q-x_p).y_r}{2}=-\frac{bc}{2a}[/tex3]

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[tex3]A=\frac{(x_q-x_p).y_r}{2}=-\frac{bc}{2a}[/tex3]