Olimpíadas(POTI)- Conceitos Inicias de Geometira Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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goncalves3718
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(POTI)- Conceitos Inicias de Geometira

Mensagem não lida por goncalves3718 »

Encontre um ponto dentro de um quadrilátero convexo tal que a soma das distâncias do ponto aos vértices é mínima.




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deOliveira
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Re: (POTI)- Conceitos Inicias de Geometira

Mensagem não lida por deOliveira »

Seja [tex3]ABCD[/tex3] um quadrilátero convexo, com diagonais [tex3]AC [/tex3] e [tex3]BD[/tex3] , pense que o ponto [tex3]P[/tex3] pode estar disposto em qualquer lugar na área de [tex3]ABCD[/tex3] . Se [tex3]P[/tex3] for o ponto de encontro das diagonais, teremos que [tex3]PA+PC= AC[/tex3] . Caso não seja, temos [tex3]PA+PC>AC[/tex3] (I). Logo temos [tex3]PA+PC \geq AC[/tex3] .
Analogamente temos que [tex3]PB+PD\geq BD[/tex3] (II)

Fazendo (I)+(II):

[tex3]PA+PB+PC+PD \geq AC+BD[/tex3]

Perceba que [tex3]PA+PB+PC+PD [/tex3] será mínima, se [tex3]PA+PB+PC+PD =AC+BD[/tex3] , e isso só acontecerá se [tex3]P[/tex3] for o ponto de encontro das diagonais do quadrilátero [tex3]ABCD[/tex3] .



Matemática é melhor do que contato humano. '-'

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