IME / ITA ⇒ (Escola Naval) Limites Tópico resolvido

[Felipe22]

Bom dia!
Esta questão "caiu" na Escola Naval e resolvi pela propriedade dos expoentes.
(EN) - lim x-> 0 [tex3]\sqrt[X]{\frac{k +x}{k - x}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt[X]{\frac{k +x}{k - x}}[/tex3]

encontrei e^1/x.ln (k+x/k-x). Agora como chegar a resposta e^2/k?

Ou deve ter outra forma de resolvê-lo.
Obg!

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}\sqrt[X]{\frac{k +x}{k - x}}=[/tex3]

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[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}\sqrt[X]{\frac{k +x}{k - x}}=[/tex3]

[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(\frac{k+x}{k-x}\right)^{\frac{1}{x}}[/tex3]

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[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(\frac{k+x}{k-x}\right)^{\frac{1}{x}}[/tex3]

Podemos escrever:

[tex3]\frac{k+x}{k-x}=\frac{k-x+x+x}{k-x}=\frac{k-x+2x}{k-x}=\frac{k-x}{k-x}+\frac{2x}{k-x}=1+\frac{2x}{k-x}[/tex3]

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[tex3]\frac{k+x}{k-x}=\frac{k-x+x+x}{k-x}=\frac{k-x+2x}{k-x}=\frac{k-x}{k-x}+\frac{2x}{k-x}=1+\frac{2x}{k-x}[/tex3]

Logo,

[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(\frac{k+x}{k-x}\right)^{\frac{1}{x}}=\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(1+\frac{2x}{k-x}\right)^{\frac{1}{x}}[/tex3]

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[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(\frac{k+x}{k-x}\right)^{\frac{1}{x}}=\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(1+\frac{2x}{k-x}\right)^{\frac{1}{x}}[/tex3]

Fazendo a mudança de variável [tex3]t=\frac{2x}{k-x}[/tex3]

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[tex3]t=\frac{2x}{k-x}[/tex3]

, ou seja , temos que t tende a zero quando x tende a zero. Por outro lado, temos ainda,

[tex3]t=\frac{2x}{k-x}→tk-tx=2x→tk=2x+tx→(2+t).x=tk→x=\frac{tk}{2+t}[/tex3]

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[tex3]t=\frac{2x}{k-x}→tk-tx=2x→tk=2x+tx→(2+t).x=tk→x=\frac{tk}{2+t}[/tex3]

Assim,

[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(\frac{k+x}{k-x}\right)^{\frac{1}{x}}=\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(1+\frac{2x}{k-x}\right)^{\frac{1}{x}}=\lim_{t \rightarrow \ 0}(1+t)^{\frac{1}{\frac{tk}{2+t}}}=[/tex3]

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[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(\frac{k+x}{k-x}\right)^{\frac{1}{x}}=\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(1+\frac{2x}{k-x}\right)^{\frac{1}{x}}=\lim_{t \rightarrow \ 0}(1+t)^{\frac{1}{\frac{tk}{2+t}}}=[/tex3]

[tex3]\lim_{t \rightarrow \ 0}(1+t)^{\frac{2+t}
{tk}}=[/tex3]

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[tex3]\lim_{t \rightarrow \ 0}(1+t)^{\frac{2+t}
{tk}}=[/tex3]

[tex3]\lim_{t \rightarrow \ 0}(1+t)^{\frac{2}
{tk}+\frac{1}{k}}=[/tex3]

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[tex3]\lim_{t \rightarrow \ 0}(1+t)^{\frac{2}
{tk}+\frac{1}{k}}=[/tex3]

[tex3]\lim_{t \rightarrow \ 0}[(1+t)^{\frac{2}
{tk}}.(1+t)^{\frac{1}{k}}]=[/tex3]

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[tex3]\lim_{t \rightarrow \ 0}[(1+t)^{\frac{2}
{tk}}.(1+t)^{\frac{1}{k}}]=[/tex3]

[tex3]\lim_{t \rightarrow \ 0}(1+t)^{\frac{2}
{tk}}.\lim_{t \rightarrow \ 0}(1+t)^{\frac{1}{k}}=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{t \rightarrow \ 0}(1+t)^{\frac{2}
{tk}}.\lim_{t \rightarrow \ 0}(1+t)^{\frac{1}{k}}=[/tex3]

[tex3]\lim_{t \rightarrow \ 0}[(1+t)^{\frac{1}
{t}}]^{\frac{2}{k}}.(1+0)^{\frac{1}{k}}=[/tex3]

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[tex3]\lim_{t \rightarrow \ 0}[(1+t)^{\frac{1}
{t}}]^{\frac{2}{k}}.(1+0)^{\frac{1}{k}}=[/tex3]

[tex3][\lim_{t \rightarrow \ 0}(1+t)^{\frac{1}
{t}}]^{\frac{2}{k}}.(1)^{\frac{1}{k}}=e^{\frac{2}{k}}.1=e^{\frac{2}{k}}[/tex3]

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[tex3][\lim_{t \rightarrow \ 0}(1+t)^{\frac{1}
{t}}]^{\frac{2}{k}}.(1)^{\frac{1}{k}}=e^{\frac{2}{k}}.1=e^{\frac{2}{k}}[/tex3]

Nota

A idéia aqui, é transformar o limite dado em um "limite fundamental" , ou seja , num limite conhecido do tipo [tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e[/tex3]

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[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e[/tex3]

, em que x [tex3]\in \mathbb{R}^*[/tex3]

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[tex3]\in \mathbb{R}^*[/tex3]

.



Bons estudos!

[Jigsaw]

Felipe22, há um Tópico específico para questões de escolas militares ((EN, CN, EsPCEx etc.), pedimos para postarem no Tópico correto:
help/faq#f2r0

[Cardoso1979]

Felipe22, há um Tópico específico para questões de escolas militares ((EN, CN, EsPCEx etc.), pedimos para postarem no Tópico correto:
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