- zago.PNG (15.66 KiB) Exibido 1320 vezes
b)127°
c)137°
d)143°
e)150°
Resposta
a
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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IME / ITA ⇒ (Simulado IME/ITA) Geometria Plana Tópico resolvido
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Flavio2020
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Dez 2019
17
08:39
(Simulado IME/ITA) Geometria Plana
Dado o gráfico,T é ponto de tangência e G é baricentro da região ABC,calcule a medido do arco MT.
a)120°
b)127°
c)137°
d)143°
e)150°
a
b)127°
c)137°
d)143°
e)150°
a
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Matheusrpb
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Dez 2019
17
12:21
Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana
• Por Geometria Analítica:
• Tomando B como origem do plano cartesiano:
[tex3]\text{Raio das circunferências} = r[/tex3]
[tex3]M = (r,0)[/tex3]
[tex3]C = (2r,0) [/tex3]
[tex3]A = (0,y_A) [/tex3]
• Semicircunferência de centro em [tex3]M[/tex3] :
[tex3]\lambda_1: (x-r)^2 +y^2 = r^2[/tex3]
• Baricentro:
[tex3]x_G = \frac{ x_A + x_B +x_C}3 [/tex3]
[tex3]x_G = \frac{0 + 0 + 2r}3[/tex3]
[tex3]x_G = \frac{2r}3 [/tex3]
[tex3]G\in \lambda [/tex3]
[tex3](x_G -r)^2 +y_G^2 = r^2 [/tex3]
[tex3]\(\frac{2r}3-r\)^2 +y_G^2 = r^2 [/tex3]
[tex3]\frac{r^2}9 + y_G^2 = r^2 [/tex3]
[tex3]y_G ^2= \frac{8r^2}9[/tex3]
[tex3]y_G = \frac{2r\sqrt 2}3[/tex3]
[tex3]\boxed{G = \(\frac{2r}3,\frac{2r\sqrt 2}3\) }[/tex3]
• Ponto A:
[tex3]y_G = \frac{y_A+y_B+y_C}3[/tex3]
[tex3]\frac{2r\sqrt 2}3 = \frac{y_A +0+0}3 [/tex3]
[tex3]y_A = 2r\sqrt 2[/tex3]
[tex3]\boxed{A= \(0,2r\sqrt 2\)} [/tex3]
• Traçando os segmentos: [tex3]\overline{AM}\text{ e } \overline{GT} [/tex3]
[tex3]\text{Obs}_1: \overline{AM}[/tex3] passa por G, pois M é o ponto médio de [tex3]\overline{BC} [/tex3] .
[tex3]\text{Obs}_2: \measuredangle{ATG} = 90 ^\circ [/tex3] .
• Calculando [tex3]\overline{AG} [/tex3]
[tex3]\overline{AG} = \frac{2\overline{AM}}3 [/tex3]
[tex3]\overline{AM} = \frac{3\overline{AG}}2 [/tex3]
[tex3]\overline{GM} = \frac{\overline{AM}}3 [/tex3]
[tex3]\overline{GM} = \frac{\frac{3\overline{AG}}2}3[/tex3]
[tex3]\overline{GM} = \frac{\overline{AG}}2 [/tex3]
[tex3]\overline{AG} = 2\overline{GM} [/tex3]
[tex3]\boxed{\overline{AG} = 2r} [/tex3]
• Analisando o [tex3]∆AG T[/tex3] :
[tex3]\cos \alpha= \frac{\overline{GT}}{\overline{AG}} [/tex3]
[tex3]\cos\alpha= \frac{r}{2r} [/tex3]
[tex3]\cos\alpha = \frac 12 [/tex3]
[tex3]\boxed{ \alpha = 60 ^\circ }[/tex3]
• Arco [tex3]MT [/tex3] :
[tex3]\text{Arco } MT = 180^\circ - \alpha[/tex3]
[tex3]\text{Arco } MT = 180^\circ -60^\circ [/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{\text{Arco } MT = 120^\circ}} [/tex3]
• Tomando B como origem do plano cartesiano:
[tex3]\text{Raio das circunferências} = r[/tex3]
[tex3]M = (r,0)[/tex3]
[tex3]C = (2r,0) [/tex3]
[tex3]A = (0,y_A) [/tex3]
• Semicircunferência de centro em [tex3]M[/tex3] :
[tex3]\lambda_1: (x-r)^2 +y^2 = r^2[/tex3]
• Baricentro:
[tex3]x_G = \frac{ x_A + x_B +x_C}3 [/tex3]
[tex3]x_G = \frac{0 + 0 + 2r}3[/tex3]
[tex3]x_G = \frac{2r}3 [/tex3]
[tex3]G\in \lambda [/tex3]
[tex3](x_G -r)^2 +y_G^2 = r^2 [/tex3]
[tex3]\(\frac{2r}3-r\)^2 +y_G^2 = r^2 [/tex3]
[tex3]\frac{r^2}9 + y_G^2 = r^2 [/tex3]
[tex3]y_G ^2= \frac{8r^2}9[/tex3]
[tex3]y_G = \frac{2r\sqrt 2}3[/tex3]
[tex3]\boxed{G = \(\frac{2r}3,\frac{2r\sqrt 2}3\) }[/tex3]
• Ponto A:
[tex3]y_G = \frac{y_A+y_B+y_C}3[/tex3]
[tex3]\frac{2r\sqrt 2}3 = \frac{y_A +0+0}3 [/tex3]
[tex3]y_A = 2r\sqrt 2[/tex3]
[tex3]\boxed{A= \(0,2r\sqrt 2\)} [/tex3]
• Traçando os segmentos: [tex3]\overline{AM}\text{ e } \overline{GT} [/tex3]
[tex3]\text{Obs}_1: \overline{AM}[/tex3] passa por G, pois M é o ponto médio de [tex3]\overline{BC} [/tex3] .
[tex3]\text{Obs}_2: \measuredangle{ATG} = 90 ^\circ [/tex3] .
• Calculando [tex3]\overline{AG} [/tex3]
[tex3]\overline{AG} = \frac{2\overline{AM}}3 [/tex3]
[tex3]\overline{AM} = \frac{3\overline{AG}}2 [/tex3]
[tex3]\overline{GM} = \frac{\overline{AM}}3 [/tex3]
[tex3]\overline{GM} = \frac{\frac{3\overline{AG}}2}3[/tex3]
[tex3]\overline{GM} = \frac{\overline{AG}}2 [/tex3]
[tex3]\overline{AG} = 2\overline{GM} [/tex3]
[tex3]\boxed{\overline{AG} = 2r} [/tex3]
• Analisando o [tex3]∆AG T[/tex3] :
[tex3]\cos \alpha= \frac{\overline{GT}}{\overline{AG}} [/tex3]
[tex3]\cos\alpha= \frac{r}{2r} [/tex3]
[tex3]\cos\alpha = \frac 12 [/tex3]
[tex3]\boxed{ \alpha = 60 ^\circ }[/tex3]
• Arco [tex3]MT [/tex3] :
[tex3]\text{Arco } MT = 180^\circ - \alpha[/tex3]
[tex3]\text{Arco } MT = 180^\circ -60^\circ [/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{\text{Arco } MT = 120^\circ}} [/tex3]
Por que você me deixa tão solto ? E se eu me interessar por alguém ?
-
LucasPettine
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Dez 2019
17
12:33
Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana
Ótima explicação. Sou péssimo em matemática, mas agora entendi sobre a questão. Obrigado.Matheusrpb escreveu: ↑17 Dez 2019, 12:21 • Por Geometria Analítica:
• Tomando B como origem do plano cartesiano:
[tex3]\text{Raio das circunferências} = r[/tex3]
[tex3]M = (r,0)[/tex3]
[tex3]C = (2r,0) [/tex3]
[tex3]A = (0,y_A) [/tex3]
• Semicircunferência de centro em [tex3]M[/tex3] :
[tex3]\lambda_1: (x-r)^2 +y^2 = r^2[/tex3]
• Baricentro:
[tex3]x_G = \frac{ x_A + x_B +x_C}3 [/tex3]
[tex3]x_G = \frac{0 + 0 + 2r}3[/tex3]
[tex3]x_G = \frac{2r}3 [/tex3]
[tex3]G\in \lambda [/tex3]
[tex3](x_G -r)^2 +y_G^2 = r^2 [/tex3]
[tex3]\(\frac{2r}3-r\)^2 +y_G^2 = r^2 [/tex3]
[tex3]\frac{r^2}9 + y_G^2 = r^2 [/tex3]
[tex3]y_G ^2= \frac{8r^2}9[/tex3]
[tex3]y_G = \frac{2r\sqrt 2}3[/tex3]
[tex3]\boxed{G = \(\frac{2r}3,\frac{2r\sqrt 2}3\) }[/tex3]
• Ponto A:
[tex3]y_G = \frac{y_A+y_B+y_C}3[/tex3]
[tex3]\frac{2r\sqrt 2}3 = \frac{y_A +0+0}3 [/tex3]
[tex3]y_A = 2r\sqrt 2[/tex3]
[tex3]\boxed{A= \(0,2r\sqrt 2\)} [/tex3]
• Traçando os segmentos: [tex3]\overline{AM}\text{ e } \overline{GT} [/tex3]
[tex3]\text{Obs}_1: \overline{AM}[/tex3] passa por G, pois M é o ponto médio de [tex3]\overline{BC} [/tex3] .
[tex3]\text{Obs}_2: \measuredangle{ATG} = 90 ^\circ [/tex3] .
• Calculando [tex3]\overline{AG} [/tex3]
[tex3]\overline{AG} = \frac{2\overline{AM}}3 [/tex3]
[tex3]\overline{AM} = \frac{3\overline{AG}}2 [/tex3]
[tex3]\overline{GM} = \frac{\overline{AM}}3 [/tex3]
[tex3]\overline{GM} = \frac{\frac{3\overline{AG}}2}3[/tex3]
[tex3]\overline{GM} = \frac{\overline{AG}}2 [/tex3]
[tex3]\overline{AG} = 2\overline{GM} [/tex3]
[tex3]\boxed{\overline{AG} = 2r} [/tex3]
• Analisando o [tex3]∆AG T[/tex3] :
[tex3]\cos \alpha= \frac{\overline{GT}}{\overline{AG}} [/tex3]
[tex3]\cos\alpha= \frac{r}{2r} [/tex3]
[tex3]\cos\alpha = \frac 12 [/tex3]
[tex3]\boxed{ \alpha = 60 ^\circ }[/tex3]
• Arco [tex3]MT [/tex3] :
[tex3]\text{Arco } MT = 180^\circ - \alpha[/tex3]
[tex3]\text{Arco } MT = 180^\circ -60^\circ [/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{\text{Arco } MT = 120^\circ}} [/tex3]
meu fórum para quem quiser conhecer melhor: http://mundodocinema.forumeiros.com/
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Babi123
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Dez 2019
17
16:14
Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana
Legal Matheusrpb 
Só faltou o problema ter informado que [tex3]M[/tex3] é o centro do círculo de diâmetro BC (também não informado).
Penso q só essa "seta" tracejada "indicando" q é o raio não é suficiente.
Só faltou o problema ter informado que [tex3]M[/tex3] é o centro do círculo de diâmetro BC (também não informado).
Penso q só essa "seta" tracejada "indicando" q é o raio não é suficiente.
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jvmago
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Dez 2019
17
17:47
Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana
Uma segunda saída usando euclidiano. Por homotetia B,G,T são colineares e a circunferência de centro G contém B agora ACABOU
Note que BM=MG=BG=r portanto GbM=60
Por fim note também que TbM=60 e equivale a TgM/2
X=2*60=120°
[tex3]PIMBADA[/tex3]
Note que BM=MG=BG=r portanto GbM=60
Por fim note também que TbM=60 e equivale a TgM/2
X=2*60=120°
[tex3]PIMBADA[/tex3]
Editado pela última vez por jvmago em 17 Dez 2019, 17:48, em um total de 1 vez.
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
-
Matheusrpb
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Dez 2019
17
18:16
Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana
jvmago está em outro patamar kkk.
Por que você me deixa tão solto ? E se eu me interessar por alguém ?
-
jvmago
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Dez 2019
17
21:34
Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana
Uma terceira Saída, Como G é baricentro do triangulo ABC, então AG=2GM
Como GM=r ENTÃO AG=2r
Notamos que GM=GT=r E que T é ponto de tangencia e portanto o triangulo AGT é notavel 30,60,90 tal que TgM= GaT+GtA=30+90=120
Como GM=r ENTÃO AG=2r
Notamos que GM=GT=r E que T é ponto de tangencia e portanto o triangulo AGT é notavel 30,60,90 tal que TgM= GaT+GtA=30+90=120
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
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