IME / ITA(Simulado IME/ITA) Geometria Plana Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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Flavio2020
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Dez 2019 17 08:39

(Simulado IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por Flavio2020 »

Dado o gráfico,T é ponto de tangência e G é baricentro da região ABC,calcule a medido do arco MT.
zago.PNG
zago.PNG (15.66 KiB) Exibido 346 vezes
a)120°
b)127°
c)137°
d)143°
e)150°
Resposta

a




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Matheusrpb
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Dez 2019 17 12:21

Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por Matheusrpb »

• Por Geometria Analítica:

• Tomando B como origem do plano cartesiano:

[tex3] \text{Raio das circunferências} = r[/tex3]

[tex3] M = (r,0)[/tex3]

[tex3]C = (2r,0) [/tex3]

[tex3] A = (0,y_A) [/tex3]

• Semicircunferência de centro em [tex3] M[/tex3] :

[tex3] \lambda_1: (x-r)^2 +y^2 = r^2[/tex3]

• Baricentro:

[tex3] x_G = \frac{ x_A + x_B +x_C}3 [/tex3]

[tex3] x_G = \frac{0 + 0 + 2r}3[/tex3]

[tex3] x_G = \frac{2r}3 [/tex3]

[tex3] G\in \lambda [/tex3]

[tex3](x_G -r)^2 +y_G^2 = r^2 [/tex3]

[tex3]\(\frac{2r}3-r\)^2 +y_G^2 = r^2 [/tex3]

[tex3] \frac{r^2}9 + y_G^2 = r^2 [/tex3]

[tex3] y_G ^2= \frac{8r^2}9[/tex3]

[tex3] y_G = \frac{2r\sqrt 2}3[/tex3]

[tex3] \boxed{G = \(\frac{2r}3,\frac{2r\sqrt 2}3\) }[/tex3]

• Ponto A:

[tex3] y_G = \frac{y_A+y_B+y_C}3[/tex3]

[tex3]\frac{2r\sqrt 2}3 = \frac{y_A +0+0}3 [/tex3]

[tex3] y_A = 2r\sqrt 2[/tex3]

[tex3]\boxed{A= \(0,2r\sqrt 2\)} [/tex3]

• Traçando os segmentos: [tex3] \overline{AM}\text{ e } \overline{GT} [/tex3]

[tex3]\text{Obs}_1: \overline{AM}[/tex3] passa por G, pois M é o ponto médio de [tex3] \overline{BC} [/tex3] .

[tex3]\text{Obs}_2: \measuredangle{ATG} = 90 ^\circ [/tex3] .

• Calculando [tex3] \overline{AG} [/tex3]

[tex3]\overline{AG} = \frac{2\overline{AM}}3 [/tex3]

[tex3] \overline{AM} = \frac{3\overline{AG}}2 [/tex3]

[tex3]\overline{GM} = \frac{\overline{AM}}3 [/tex3]

[tex3] \overline{GM} = \frac{\frac{3\overline{AG}}2}3[/tex3]

[tex3] \overline{GM} = \frac{\overline{AG}}2 [/tex3]

[tex3]\overline{AG} = 2\overline{GM} [/tex3]

[tex3] \boxed{\overline{AG} = 2r} [/tex3]

• Analisando o [tex3] ∆AG T[/tex3] :

[tex3] \cos \alpha= \frac{\overline{GT}}{\overline{AG}} [/tex3]

[tex3] \cos\alpha= \frac{r}{2r} [/tex3]

[tex3] \cos\alpha = \frac 12 [/tex3]

[tex3]\boxed{ \alpha = 60 ^\circ }[/tex3]

• Arco [tex3]MT [/tex3] :

[tex3] \text{Arco } MT = 180^\circ - \alpha[/tex3]

[tex3]\text{Arco } MT = 180^\circ -60^\circ [/tex3]

[tex3] \boxed{\boxed{\text{Arco } MT = 120^\circ}} [/tex3]



Por que você me deixa tão solto ? E se eu me interessar por alguém ?

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LucasPettine
iniciante
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Dez 2019 17 12:33

Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por LucasPettine »

Matheusrpb escreveu:
Ter 17 Dez, 2019 12:21
• Por Geometria Analítica:

• Tomando B como origem do plano cartesiano:

[tex3] \text{Raio das circunferências} = r[/tex3]

[tex3] M = (r,0)[/tex3]

[tex3]C = (2r,0) [/tex3]

[tex3] A = (0,y_A) [/tex3]

• Semicircunferência de centro em [tex3] M[/tex3] :

[tex3] \lambda_1: (x-r)^2 +y^2 = r^2[/tex3]

• Baricentro:

[tex3] x_G = \frac{ x_A + x_B +x_C}3 [/tex3]

[tex3] x_G = \frac{0 + 0 + 2r}3[/tex3]

[tex3] x_G = \frac{2r}3 [/tex3]

[tex3] G\in \lambda [/tex3]

[tex3](x_G -r)^2 +y_G^2 = r^2 [/tex3]

[tex3]\(\frac{2r}3-r\)^2 +y_G^2 = r^2 [/tex3]

[tex3] \frac{r^2}9 + y_G^2 = r^2 [/tex3]

[tex3] y_G ^2= \frac{8r^2}9[/tex3]

[tex3] y_G = \frac{2r\sqrt 2}3[/tex3]

[tex3] \boxed{G = \(\frac{2r}3,\frac{2r\sqrt 2}3\) }[/tex3]

• Ponto A:

[tex3] y_G = \frac{y_A+y_B+y_C}3[/tex3]

[tex3]\frac{2r\sqrt 2}3 = \frac{y_A +0+0}3 [/tex3]

[tex3] y_A = 2r\sqrt 2[/tex3]

[tex3]\boxed{A= \(0,2r\sqrt 2\)} [/tex3]

• Traçando os segmentos: [tex3] \overline{AM}\text{ e } \overline{GT} [/tex3]

[tex3]\text{Obs}_1: \overline{AM}[/tex3] passa por G, pois M é o ponto médio de [tex3] \overline{BC} [/tex3] .

[tex3]\text{Obs}_2: \measuredangle{ATG} = 90 ^\circ [/tex3] .

• Calculando [tex3] \overline{AG} [/tex3]

[tex3]\overline{AG} = \frac{2\overline{AM}}3 [/tex3]

[tex3] \overline{AM} = \frac{3\overline{AG}}2 [/tex3]

[tex3]\overline{GM} = \frac{\overline{AM}}3 [/tex3]

[tex3] \overline{GM} = \frac{\frac{3\overline{AG}}2}3[/tex3]

[tex3] \overline{GM} = \frac{\overline{AG}}2 [/tex3]

[tex3]\overline{AG} = 2\overline{GM} [/tex3]

[tex3] \boxed{\overline{AG} = 2r} [/tex3]

• Analisando o [tex3] ∆AG T[/tex3] :

[tex3] \cos \alpha= \frac{\overline{GT}}{\overline{AG}} [/tex3]

[tex3] \cos\alpha= \frac{r}{2r} [/tex3]

[tex3] \cos\alpha = \frac 12 [/tex3]

[tex3]\boxed{ \alpha = 60 ^\circ }[/tex3]

• Arco [tex3]MT [/tex3] :

[tex3] \text{Arco } MT = 180^\circ - \alpha[/tex3]

[tex3]\text{Arco } MT = 180^\circ -60^\circ [/tex3]

[tex3] \boxed{\boxed{\text{Arco } MT = 120^\circ}} [/tex3]
Ótima explicação. Sou péssimo em matemática, mas agora entendi sobre a questão. Obrigado. :P


meu fórum para quem quiser conhecer melhor: http://mundodocinema.forumeiros.com/

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Babi123
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Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por Babi123 »

Legal Matheusrpb :):)
Só faltou o problema ter informado que [tex3]M[/tex3] é o centro do círculo de diâmetro BC (também não informado).
Penso q só essa "seta" tracejada "indicando" q é o raio não é suficiente. :roll:



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jvmago
5 - Mestre
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Dez 2019 17 17:47

Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por jvmago »

Uma segunda saída usando euclidiano. Por homotetia B,G,T são colineares e a circunferência de centro G contém B agora ACABOU

Note que BM=MG=BG=r portanto GbM=60

Por fim note também que TbM=60 e equivale a TgM/2

X=2*60=120°

[tex3]PIMBADA[/tex3]
Última edição: jvmago (Ter 17 Dez, 2019 17:48). Total de 1 vez.


Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.

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Matheusrpb
4 - Sabe Tudo
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Dez 2019 17 18:16

Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por Matheusrpb »

jvmago está em outro patamar kkk.


Por que você me deixa tão solto ? E se eu me interessar por alguém ?

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jvmago
5 - Mestre
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Dez 2019 17 21:34

Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por jvmago »

Uma terceira Saída, Como G é baricentro do triangulo ABC, então AG=2GM
Como GM=r ENTÃO AG=2r

Notamos que GM=GT=r E que T é ponto de tangencia e portanto o triangulo AGT é notavel 30,60,90 tal que TgM= GaT+GtA=30+90=120



Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.

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