IME / ITA ⇒ (Simulado IME/ITA) Geometria Plana Tópico resolvido

[pipoca]

Se a área da região equilátera [tex3]ABC[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]ABC[/tex3]

é [tex3]S[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S[/tex3]

, calcule a área da região sombreada.

ll5.PNG (16.51 KiB) Exibido 1738 vezes

a) [tex3]\frac{3S}{4}[/tex3]

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[tex3]\frac{3S}{4}[/tex3]

b) [tex3]\frac{5S}{9}[/tex3]

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[tex3]\frac{5S}{9}[/tex3]

c) [tex3]\frac{6S}{13}[/tex3]

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[tex3]\frac{6S}{13}[/tex3]

d) [tex3]\frac{2S}{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{2S}{3}[/tex3]

e) [tex3]\frac{8S}{25}[/tex3]

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[tex3]\frac{8S}{25}[/tex3]

Resposta

---

b

[jvmago]

Seja D o pé da perpendicular que parte de A, E o pé da perpendicular que parte de D, N o pé da perpendicular que parte de E, M a interseção das retas EN e AD, e F o ponto pelo qual parte a perpendicular cujo pé é o ponto N partiu!!!

Por definição S=(a²√3)/4

Por propriedade BD=DC=a/2

Repare agora que BfN=NaC=NmA=MdE=60° portanto :
O triângulo MDE é equilátero!

Vemos com facilidade que EdC=30 então pela proporções do triângulo retângulo egípcio temos:

DE=ME=MD=MA=(a√3)/4

Note agora que o triângulo ANM também é egípcio e portanto pela propriedade das proporções:

AN=(3a)/8

Como o triângulo ABC é equilátero então temos :

NB=(5a)/8

Note agora que o triângulo NFB também é egípcio tal que por propriedade

FB=(5a√3)/24

Por fim a área hachurada será a área de um trapézio pois temos FB//AD tal que:

x=( (5a√3)/12 + (a√3)/4) )* (a)/4

Simplificando tiramos
x=(9a²√3)/(12*4)

Usando a primeira informação nessa última
X=(3S)/4

PIMBADA

[rodBR]

triang.png (17.01 KiB) Exibido 1703 vezes

Acredito que daria para fazer na raça por Geo. Analítica. Bastaria escolher [tex3]A[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A[/tex3]

como a origem do plano cartesiano, pois é fácil provar que [tex3]FA\perp AC[/tex3]

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[tex3]FA\perp AC[/tex3]

. Assim, determinaríamos as coordenadas dos pontos [tex3]D, \ M, \ B, \ F[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]D, \ M, \ B, \ F[/tex3]

. O problema seria o trabalho braçal. rsrs

[petras]

jvmago, Não seria letra d?
[tex3]\mathsf{
S_t =\frac{DH+BG}{2} .DB=\frac{1}{2}(\frac{a\sqrt{3}}{4}+\frac{5a\sqrt{3}}{12}).\frac{a}{2}=\frac{a}{4}(\frac{8a\sqrt{3}}{12})=\frac{a^2\sqrt{3}}{6}\\
S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\rightarrow 4S = a^2\sqrt{3}\rightarrow S_t=\frac{4S}{6}=\boxed{\frac{2S}{3}}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{
S_t =\frac{DH+BG}{2} .DB=\frac{1}{2}(\frac{a\sqrt{3}}{4}+\frac{5a\sqrt{3}}{12}).\frac{a}{2}=\frac{a}{4}(\frac{8a\sqrt{3}}{12})=\frac{a^2\sqrt{3}}{6}\\
S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\rightarrow 4S = a^2\sqrt{3}\rightarrow S_t=\frac{4S}{6}=\boxed{\frac{2S}{3}}}[/tex3]

[jvmago]

triang.png
Acredito que daria para fazer na raça por Geo. Analítica. Bastaria escolher [tex3]A[/tex3]

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[tex3]A[/tex3]

como a origem do plano cartesiano, pois é fácil provar que [tex3]FA\perp AC[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]FA\perp AC[/tex3]

. Assim, determinaríamos as coordenadas dos pontos [tex3]D, \ M, \ B, \ F[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]D, \ M, \ B, \ F[/tex3]

. O problema seria o trabalho braçal. rsrs

Nem precisa de analítica pois repare pela minha resolução que AFBE é inscritivel

[jvmago]

jvmago, Não seria letra d?
[tex3]\mathsf{
S_t =\frac{DH+BG}{2} .DB=\frac{1}{2}(\frac{a\sqrt{3}}{4}+\frac{5a\sqrt{3}}{12}).\frac{a}{2}=\frac{a}{4}(\frac{8a\sqrt{3}}{12})=\frac{a^2\sqrt{3}}{6}\\
S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\rightarrow 4S = a^2\sqrt{3}\rightarrow S_t=\frac{4S}{6}=\boxed{\frac{2S}{3}}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{
S_t =\frac{DH+BG}{2} .DB=\frac{1}{2}(\frac{a\sqrt{3}}{4}+\frac{5a\sqrt{3}}{12}).\frac{a}{2}=\frac{a}{4}(\frac{8a\sqrt{3}}{12})=\frac{a^2\sqrt{3}}{6}\\
S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\rightarrow 4S = a^2\sqrt{3}\rightarrow S_t=\frac{4S}{6}=\boxed{\frac{2S}{3}}}[/tex3]

Pior!!!! Era para ser
x=( (5a√3)/24 + (a√3)/4) )* (a)/4

EU SOU UM ANIMAL

[petras]

jvmago,

Note agora que o triângulo NFB também é egípcio tal que por propriedade

FB=(5a√3)/24

Encontrei FB = [tex3]\mathsf{\frac{5a\sqrt{3}}{12}\\
\Delta_{NFB}\rightarrow N\hat{B}F=30^0\rightarrow cos30^o=\frac{NB}{FB}\rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\frac{5a}{8}}{FB}\rightarrow FB=\frac{10a}{8\sqrt{3}}=\frac{10a\sqrt{3}}{24}=\frac{5a\sqrt{3}}{12}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{\frac{5a\sqrt{3}}{12}\\
\Delta_{NFB}\rightarrow N\hat{B}F=30^0\rightarrow cos30^o=\frac{NB}{FB}\rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\frac{5a}{8}}{FB}\rightarrow FB=\frac{10a}{8\sqrt{3}}=\frac{10a\sqrt{3}}{24}=\frac{5a\sqrt{3}}{12}}[/tex3]

[jvmago]

jvmago,

Note agora que o triângulo NFB também é egípcio tal que por propriedade

FB=(5a√3)/24

Encontrei FB = [tex3]\mathsf{\frac{5a\sqrt{3}}{12}\\
\Delta_{NFB}\rightarrow N\hat{B}F=30^0\rightarrow cos30^o=\frac{NB}{FB}\rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\frac{5a}{8}}{FB}\rightarrow FB=\frac{10a}{8\sqrt{3}}=\frac{10a\sqrt{3}}{24}=\frac{5a\sqrt{3}}{12}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{\frac{5a\sqrt{3}}{12}\\
\Delta_{NFB}\rightarrow N\hat{B}F=30^0\rightarrow cos30^o=\frac{NB}{FB}\rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\frac{5a}{8}}{FB}\rightarrow FB=\frac{10a}{8\sqrt{3}}=\frac{10a\sqrt{3}}{24}=\frac{5a\sqrt{3}}{12}}[/tex3]

Reaaaaal!

[rodBR]

Pelo "gráfico", do petras, acho que me equivoquei em:

pois é fácil provar que [tex3]FA\perp AC[/tex3]

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[tex3]FA\perp AC[/tex3]

, mas no momento que estava pensando no problema eu tinha "visto" essa perpendicularidade.