Ensino Superior ⇒ Máximos e mínimos Tópico resolvido

[thetruth]

como eu encontro os pontos de máximos e mínimos dessa função através do Hessiano

[tex3]f(x,y)\ 2x^{2}+y^2-2xy+x-y[/tex3]

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[tex3]f(x,y)\ 2x^{2}+y^2-2xy+x-y[/tex3]

[deOliveira]

[tex3]f(x,y)=2x^2+y^2-2xy+x-y[/tex3]

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[tex3]f(x,y)=2x^2+y^2-2xy+x-y[/tex3]

[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=4x-2y+1\\\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2y-2x-1[/tex3]

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[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=4x-2y+1\\\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2y-2x-1[/tex3]

Vamos procurar os pontos críticos de [tex3]f[/tex3]

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[tex3]f[/tex3]

[tex3]\begin{cases}4x-2y+1=0\\-2x+2y-1=0\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}4x-2y+1=0\\-2x+2y-1=0\end{cases}[/tex3]

Somando as duas equações temos [tex3]x=0[/tex3]

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[tex3]x=0[/tex3]

Substituindo em uma das equações, temos que [tex3]y=\frac12[/tex3]

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[tex3]y=\frac12[/tex3]

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)=4\\\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)=2\\\frac{\partial f}{\partial x \partial y}=-2[/tex3]

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[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)=4\\\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)=2\\\frac{\partial f}{\partial x \partial y}=-2[/tex3]

[tex3]H(x,y)=\det\begin{pmatrix}
4 & -2 \\
-2 & 2 \\
\end{pmatrix}=8-4=4[/tex3]

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[tex3]H(x,y)=\det\begin{pmatrix}
4 & -2 \\
-2 & 2 \\
\end{pmatrix}=8-4=4[/tex3]

Então temos que [tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\left(0,\frac12\right)=4>0[/tex3]

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[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\left(0,\frac12\right)=4>0[/tex3]

e [tex3]H\left(0,\frac12\right)=4>0[/tex3]

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[tex3]H\left(0,\frac12\right)=4>0[/tex3]

[tex3]\implies \left(0,\frac12\right)[/tex3]

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[tex3]\implies \left(0,\frac12\right)[/tex3]

é ponto de mínimo local.

Espero ter ajudado .