Os [tex3]36[/tex3]
melhores alunos do Colégio Naval submeteram-se a uma prova de [tex3]3[/tex3]
questões para estabelecer a antiguidade militar. Sabendo que dentre estes alunos, [tex3]5[/tex3]
só acertaram a primeira questão, [tex3]6[/tex3]
só acertaram a segunda, [tex3]7[/tex3]
só acertaram a terceira, [tex3]9[/tex3]
acertaram a primeira e a segunda, [tex3]10[/tex3]
acertaram a primeira e a terceira, [tex3]7[/tex3]
acertaram a segunda e a terceira e, [tex3]4[/tex3]
erraram todas as questões, podemos afirmar que o número de alunos que não acertaram todas as [tex3]3[/tex3]
questões é igual a:
a) [tex3]6[/tex3]
b) [tex3]8[/tex3]
c) [tex3]26[/tex3]
d) [tex3]30[/tex3]
e) [tex3]32[/tex3]
IME / ITA ⇒ (EN - 2008) Conjuntos: Princípio da Inclusão-Exclusão Tópico resolvido
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ALDRIN 
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23
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(EN - 2008) Conjuntos: Princípio da Inclusão-Exclusão
Última edição: caju (Sáb 24 Mar, 2018 23:11). Total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3
Razão: tex --> tex3
"O ângulo inscrito no semicírculo é reto."
Ao descobrir essa verdade Tales fez sacrifício aos deuses.
Hoefer, H., 80.
Ao descobrir essa verdade Tales fez sacrifício aos deuses.
Hoefer, H., 80.
Out 2008
28
11:29
Re: (EN - 2008) Conjuntos: Princípio da Inclusão-Exclusão
Grande Aldrin!! Tudo bem, browday?
Vamos lá.
Vamos resolver este problema usando o princípio da inclusão-exclusão.
Vamos chamar de X o número de alunos que acertaram as 3 questões.
Assim, 36 - X será o número de alunos que NÃO acertaram as 3 questões, que é o que o examinador solicitou no comando da questão.
Vamos chamar o conjunto de alunos que acertaram a 1ª questão de A.
Vamos chamar o conjunto de alunos que acertaram a 2ª questão de B.
Vamos chamar o conjunto de alunos que acertaram a 3ª questão de C.
O enunciado diz que 9 alunos acertaram a 1ª e a 2ª. Como este número 9 é a interseção entre os conjuntos A e B, e sabendo que X é o conjunto de alunos que acertaram TODAS as 3 questões, temos que diminuir de 9 este valor X, pois aí teremos o número de alunos que acertaram SOMENTE A 1ª questão e a 2ª questão- é o princípio da inclusão-exclusão.
Assim, 9 - X. (1)
O enunciado diz que 10 alunos acertaram a 1ª e a 3ª. Como este número 10 é a interseção entre os conjuntos A e C, e sabendo que X é o conjunto de alunos que acertaram TODAS as 3 questões, temos que diminuir de 10 este valor X, pois aí teremos o número de alunos que acertaram SOMENTE A 1ª questão e a 3ª questão- é o princípio da inclusão-exclusão.
Assim, 10 - X. (2)
O enunciado diz que 7 alunos acertaram a 2ª e a 3ª. Como este número 7 é a interseção entre os conjuntos B e C, e sabendo que X é o conjunto de alunos que acertaram TODAS as 3 questões, temos que diminuir de 7 este valor X, pois aí teremos o número de alunos que acertaram SOMENTE A 2ª questão e a 3ª questão- é o princípio da inclusão-exclusão.
Assim, 7 - X. (3)
Sabemos que X é o conjunto de alunos que acertaram todas as questões.
Assim: X. (4)
5 alunos só acertaram a 1ª questão: 5. (5)
6 alunos só acertaram a 2ª questão: 6. (6)
7 alunos só acertaram a 3ª questão: 7. (7)
4 alunos erraram todas as questões: 4. (8)
Como são 36 alunos que se submeteram a prova, temos que o somatório de (1) a (8) tem que ser igual a 36:
(1) + (2) + (3) + (4) + (5) + (6) + (7) + (8) = 36
9 - X + 10 - X + 7 - X + X + 5 + 6 + 7 + 4 = 36
-2X + 48 = 36 -2X = -12
X = 6
Logo, o número de alunos que NÃO acertaram todas as 3 questões é de:
36 - 6 = 30
Resposta: D
É isso aí, browday. Qualquer dúvida, é só falar.
Abração!!!!
Vamos lá.
Vamos resolver este problema usando o princípio da inclusão-exclusão.
Vamos chamar de X o número de alunos que acertaram as 3 questões.
Assim, 36 - X será o número de alunos que NÃO acertaram as 3 questões, que é o que o examinador solicitou no comando da questão.
Vamos chamar o conjunto de alunos que acertaram a 1ª questão de A.
Vamos chamar o conjunto de alunos que acertaram a 2ª questão de B.
Vamos chamar o conjunto de alunos que acertaram a 3ª questão de C.
O enunciado diz que 9 alunos acertaram a 1ª e a 2ª. Como este número 9 é a interseção entre os conjuntos A e B, e sabendo que X é o conjunto de alunos que acertaram TODAS as 3 questões, temos que diminuir de 9 este valor X, pois aí teremos o número de alunos que acertaram SOMENTE A 1ª questão e a 2ª questão- é o princípio da inclusão-exclusão.
Assim, 9 - X. (1)
O enunciado diz que 10 alunos acertaram a 1ª e a 3ª. Como este número 10 é a interseção entre os conjuntos A e C, e sabendo que X é o conjunto de alunos que acertaram TODAS as 3 questões, temos que diminuir de 10 este valor X, pois aí teremos o número de alunos que acertaram SOMENTE A 1ª questão e a 3ª questão- é o princípio da inclusão-exclusão.
Assim, 10 - X. (2)
O enunciado diz que 7 alunos acertaram a 2ª e a 3ª. Como este número 7 é a interseção entre os conjuntos B e C, e sabendo que X é o conjunto de alunos que acertaram TODAS as 3 questões, temos que diminuir de 7 este valor X, pois aí teremos o número de alunos que acertaram SOMENTE A 2ª questão e a 3ª questão- é o princípio da inclusão-exclusão.
Assim, 7 - X. (3)
Sabemos que X é o conjunto de alunos que acertaram todas as questões.
Assim: X. (4)
5 alunos só acertaram a 1ª questão: 5. (5)
6 alunos só acertaram a 2ª questão: 6. (6)
7 alunos só acertaram a 3ª questão: 7. (7)
4 alunos erraram todas as questões: 4. (8)
Como são 36 alunos que se submeteram a prova, temos que o somatório de (1) a (8) tem que ser igual a 36:
(1) + (2) + (3) + (4) + (5) + (6) + (7) + (8) = 36
9 - X + 10 - X + 7 - X + X + 5 + 6 + 7 + 4 = 36
-2X + 48 = 36 -2X = -12
X = 6
Logo, o número de alunos que NÃO acertaram todas as 3 questões é de:
36 - 6 = 30
Resposta: D
É isso aí, browday. Qualquer dúvida, é só falar.
Abração!!!!
Última edição: mvgcsdf (Ter 28 Out, 2008 11:29). Total de 1 vez.
Mar 2018
24
23:04
Re: (EN - 2008) Conjuntos: Princípio da Inclusão-Exclusão
Muito obrigado cara, sua resolução ficou extremamente fácil para a compreensão.
Mar 2018
24
23:47
Re: (EN - 2008) Conjuntos: Princípio da Inclusão-Exclusão
Outra resolução pelo diagrama:
[tex3]\mathsf{a+b+c+d = 36-(5+6+7+4)=14\rightarrow a+b+c=14-d ~(I)\\
a+d = 10\\
b+d=9\\
c+d=7\\
a+b+c+3d=26\rightarrow substituindo~(I)\rightarrow 14-d+3d=26\rightarrow d=6\rightarrow a+b+c = 14-6 = 8}[/tex3]
Não acertaram as 3 questões = [tex3]\mathsf{4+5+6+7+a+b+c =22+8 =\boxed{30}}[/tex3]
- PAGO.jpg (17.44 KiB) Exibido 7349 vezes
a+d = 10\\
b+d=9\\
c+d=7\\
a+b+c+3d=26\rightarrow substituindo~(I)\rightarrow 14-d+3d=26\rightarrow d=6\rightarrow a+b+c = 14-6 = 8}[/tex3]
Não acertaram as 3 questões = [tex3]\mathsf{4+5+6+7+a+b+c =22+8 =\boxed{30}}[/tex3]
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