Física I ⇒ Polia, mola, MHS, Corpo rígido Tópico resolvido

[AugustoITA]

Considere um disco de massa M e raio R ([tex3]I=\frac{MR^2}{2}[/tex3]

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[tex3]I=\frac{MR^2}{2}[/tex3]

) que pode rodar em torno do eixo polar. Um corpo de massa m está pendurado em uma corda ideal, que passa pelo disco (sem deslizar) e é presa a uma parede através de uma mola de constante k, como mostra a figura. Calcule a frequência natural do sistema.

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[Tassandro]

AugustoITA,
Usando que
(Inércia total do sistema)×a=-kx
Temos que
[tex3]\(m+\frac{I}{R^2}\)a=-kx\implies \(m+\frac{M}{2}\)a=-kx\implies a=-\frac{kx}{m+\frac M2}[/tex3]

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[tex3]\(m+\frac{I}{R^2}\)a=-kx\implies \(m+\frac{M}{2}\)a=-kx\implies a=-\frac{kx}{m+\frac M2}[/tex3]

Assim,
[tex3]ω^2=4π^2f^2=\frac{k}{m+\frac M2}\implies f=\frac1{2π}\sqrt\frac{k}{m+\frac M2}[/tex3]

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[tex3]ω^2=4π^2f^2=\frac{k}{m+\frac M2}\implies f=\frac1{2π}\sqrt\frac{k}{m+\frac M2}[/tex3]

[Tassandro]

Por energia:
No equilíbrio: [tex3]mg=kx_0[/tex3]

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[tex3]mg=kx_0[/tex3]

Energia mecânica após um deslocamento x:
[tex3]E=\(m+\frac{I}{R^2}\)v^2-mgx+\frac{1}{2}k(x_0+x)^2[/tex3]

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[tex3]E=\(m+\frac{I}{R^2}\)v^2-mgx+\frac{1}{2}k(x_0+x)^2[/tex3]

Substituindo [tex3]x_0[/tex3]

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[tex3]x_0[/tex3]

por [tex3]\frac{mg}k[/tex3]

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[tex3]\frac{mg}k[/tex3]

e fazendo [tex3]\frac{dE}{dt}=0[/tex3]

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[tex3]\frac{dE}{dt}=0[/tex3]

temos, após algumas simplificações algébricas,
[tex3]\(m+\frac{I}{R^2}\)\frac{dv}{dt}+kx=0[/tex3]

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[tex3]\(m+\frac{I}{R^2}\)\frac{dv}{dt}+kx=0[/tex3]