IME/ITA ⇒ (IME/ITA) Dinâmica Tópico resolvido

[oilut]

Na situação mostrada abaixo, o corpo de dimensões desprezíveis e massa m está inicialmente em repouso sobre a cunha A e a uma distância d = 62,5cm de seu topo, medida ao longo do plano inclinado. A cunha A está ligada através de um fio ideal (inextensível e de massa desprezível) de comprimento D horizontal e outra cunha B de mesma altura H que a cunha A. Em certo instante, a cunha A, inicialmente em repouso, é
submetida a uma aceleração constante a = 20m/s2. Conhecemos o ângulo de inclinação e o coeficiente de atrito entre o corpo e o plano inclinado da cunha A, respectivamente, α = 37º (triângulo 3, 4, 5) e µ = 0,25. Sabendo que o corpo, após projetado do topo da coluna A, deve cair exatamente no topo da cunha B, mantida a aceleração da cunha A constante, para a esquerda, ache o comprimento D do fio que une as cunhas. (g = 10 m/s2).

Para que o “pouso” do corpo no topo da cunha B seja “suave”, isto é, não haja impacto com a superfície da cunha, ache o ângulo de inclinação β da cunha B.

[Matheusrpb]

oilut, boa tarde !

A aceleração da cunha provoca uma força que age no corpo, com mesma direção e sentido contrário à aceleração, sua intensidade é:

[tex3]F = ma [/tex3]

• Analisando forças que agem no bloco:

[tex3]\text{ Em um plano perpendicular à superfície da cunha:} [/tex3]

[tex3]N = mg\cos \alpha + F \cos \alpha [/tex3]

[tex3]N = mg\cos\alpha + ma\sen\alpha [/tex3]

[tex3]\boxed{ N = m(g\cos\alpha + a\sen\alpha)}[/tex3]

[tex3]\text{Em um plano paralelo à superfície da cunha:} [/tex3]

[tex3]F_r =F\cos\alpha -mg\sen\alpha - F_{at} [/tex3]

[tex3]F_r = ma\cos\alpha -mg\sen\alpha- \mu N [/tex3]

[tex3]F_r = ma\cos\alpha -mg\sen\alpha -m\mu (g\cos\alpha + a\sen\alpha)[/tex3]

[tex3]F_r = m(a\cos\alpha -g\sen\alpha-\mu g\cos \alpha - \mu a \sen\alpha )[/tex3]

[tex3]F_r = m\[\cos\alpha(a-\mu g)-\sen\alpha(g+\mu a)\] [/tex3]

[tex3]ma_c = m\[\cos\alpha(a-\mu g)-\sen\alpha(g+\mu a)\][/tex3]

[tex3]\boxed{a_c = \cos\alpha(a-\mu g)-\sen\alpha(g+\mu a) }[/tex3]

• Velocidade do corpo ao perder contato com a cunha:

[tex3]v^2 = v_0^2 +2a_c∆S[/tex3]

[tex3]v^2 = 2d\[\cos\alpha(a-\mu g) -\sen\alpha(g+\mu a)\][/tex3]

[tex3]\boxed{ v = \sqrt{2d\[\cos\alpha(a-\mu g) -\sen\alpha(g+\mu a)\]} }[/tex3]

• Velocidade no eixo [tex3]x [/tex3]:

[tex3]\boxed{v_{x_0} = \cos\alpha\sqrt{2d\[\cos\alpha(a-\mu g)-\sen\alpha(g+\mu a)\]}} [/tex3]

• Velocidade no eixo [tex3]y [/tex3]:

[tex3]\boxed{ v_{y_0} = \sen \alpha\sqrt{2d\[\cos\alpha(a-\mu g) - \sen\alpha(g+\mu a)\]}} [/tex3]

• Aceleração do corpo, no eixo [tex3]x [/tex3], em relação à cunha B, após a perda do contato:

[tex3]a_r = 0-(-a )[/tex3]

[tex3]\boxed{a_r = a }[/tex3]

• Análise do movimento do corpo no eixo [tex3]y[/tex3] ,quando este estiver na altura da cunha B:

[tex3]v_y = v_{y_0} + at [/tex3]

[tex3]-\sen\alpha\sqrt{2d\[\cos\alpha(a-\mu g)-\sen\alpha(g+\mu a)\]} = \sen\alpha\sqrt{2d\[\cos\alpha(a-\mu g)-\sen\alpha(g+\mu a)\]} - gt [/tex3]

[tex3]\boxed{t = \frac{ 2\sen\alpha\sqrt{2d\[\cos\alpha(a-\mu g)-\sen\alpha(g+\mu a)\]} }g} [/tex3]

• Análise do movimento no eixo [tex3]x[/tex3], quando este estiver na altura da cunha B:

[tex3]v_x = v_{x_0} + at [/tex3]

[tex3]v_x = \cos\alpha\sqrt{2d\[\cos\alpha(a-\mu g)-\sen\alpha(g+\mu a)\]} + \frac{ 2a\sen\alpha\sqrt{2d\[\cos\alpha(a-\mu g)-\sen\alpha(g+\mu a)\]}}{g}[/tex3]

[tex3]\boxed{v_x = \frac{(g\cos\alpha +2a\sen\alpha)\sqrt{2d\[\cos\alpha(a-\mu g)-\sen\alpha(g+ \mu a)\]}}{g}}[/tex3]

[tex3]v_x^2 = v_{x_0}^2 +2a∆S [/tex3]

[tex3]\frac{(g\cos\alpha+2a\sen\alpha)^2\cdot 2d\[\cos\alpha(a-\mu g)-\sen\alpha(g+\mu a)\]}{g^2} = \cos^2\alpha\cdot 2d\[\cos\alpha(a-\mu g)-\sen\alpha(g+\mu a)\] + 2aD[/tex3]

[tex3]D =\frac{d \[\cos\alpha(a-\mu g)-\sen\alpha(g+\mu a)\]\[\frac{(g\cos\alpha+2a\sen\alpha)^2}{g^2}-\cos^2\alpha\] }a [/tex3]

[tex3]D = \frac{62,5\cdot 10^{-2}\[0,8(20-0,25\cdot 10)-0,6(10+0,25\cdot 20\]\[\frac{(10\cdot 0,8+2\cdot 20\cdot 0,6)^2}{10^2}-(0,8)^2\]}{20} [/tex3]

[tex3]D = \frac{3000\cdot 10^{-2} }{20} [/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{D = 1,5 \ m}} [/tex3]

• Velocidade do corpo no eixo [tex3]x [/tex3] quando o corpo aterrissa na cunha B:

[tex3]v_x = \cos\alpha \sqrt{2d\[\cos\alpha(a-\mu g)-\sen\alpha(g+ \mu a)\]}[/tex3]

[tex3]v_x = 0,8\sqrt{2\cdot 62,5\cdot 10^{-2}\[0,8(20-0,25\cdot 10)-0,6(10+0,25\cdot 20)\]}[/tex3]

[tex3]v_x =0,8\sqrt{625\cdot 10^{-1}}[/tex3]

[tex3]v_x = 0,8\cdot 2,5[/tex3]

[tex3]\boxed{v_x = 2 \ m/s} [/tex3]

• Velocidade do corpo no eixo [tex3]y [/tex3] quando o corpo aterrissa na cunha B:

[tex3]v_y = -\sen\alpha\sqrt{2d\[\cos\alpha(a-\mu g)-\sen\alpha(g+\mu a)\]}[/tex3]

[tex3]v_y = -0,6\sqrt{2\cdot 62,5\cdot 10^{-2}\[0,8(20-0,25\cdot 10)- 0,6(10+0,25\cdot 20)\]}[/tex3]

[tex3]v_y = -0,6\sqrt{625\cdot 10^{-2}} [/tex3]

[tex3]v_y = -0,6\cdot 2,5[/tex3]

[tex3]\boxed{v_y = -1,5 \ m/s}[/tex3]

• Calculando [tex3]\beta [/tex3]:

[tex3]\tg \beta = \frac{v_y}{v_x} [/tex3]

[tex3]\tg\beta = \frac{1,5}{2} [/tex3]

[tex3]\tg\beta = \frac{3}{4} [/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{\beta = 37°}} [/tex3]

[HeloisaDias]

Matheusrpb, você poderia me explicar o porquê da aceleração no eixo x após a perca de contato com a cunha A continuar sendo igual? Não entendi a sua conta para obter isso. Confesso ter sido a unica parte da sua resolução que não entendi de jeito algum.

[Matheusrpb]

HeloisaDias, boa tarde !

Quando o bloco perde contato com a cunha, ele passa a realizar um movimento similar ao lançamento oblíquo, ou seja, a aceleração que atua sobre o bloco é somente a aceleração da gravidade, logo a aceleração no eixo x é nula.

• Aceleração do corpo, no eixo x , em relação à cunha B, após a perda do contato:

ar=0−(−a)

ar=a

O que eu fiz aqui foi calcular a aceleração do bloco em relação à cunha.