Ensino SuperiorLimite sem L'hopital Tópico resolvido

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ti123
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Limite sem L'hopital

Mensagem não lida por ti123 »

lim x[tex3]\rightarrow [/tex3] -[tex3]\infty [/tex3] [tex3]\sqrt{x^{2}+1}-x[/tex3]
Resposta

+[tex3]\infty [/tex3]
Segue abaixo minha tentativa de resolução:
lim x[tex3]\rightarrow [/tex3] -[tex3]\infty [/tex3] [tex3]\sqrt{x^{2}+1}-x[/tex3] * [tex3]\frac{\sqrt{x^{2}+1}+x}{{\sqrt{x^{2}+1}+x}}[/tex3]
= lim x[tex3]\rightarrow [/tex3] -[tex3]\infty [/tex3] [tex3]\frac{x^{2}+1-x^{2}}{{\sqrt{x^{2}+1}+x}}[/tex3]
= [tex3]\frac{1}{\infty +\infty }[/tex3]
Que é indeterminação!
Fiz algo errado? Tem outra saída?




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AlexandreHDK
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Re: Limite sem L'hopital

Mensagem não lida por AlexandreHDK »

No último passo, ficaria algo como [tex3]\frac{1}{\infty - \infty}[/tex3] , e não [tex3]\frac{1}{\infty + \infty}[/tex3] . Veja o sinal do x e que o limite é para [tex3]x\to -\infty[/tex3] .
Enfim, na verdade acho que não precisava complicar tanto a resolução, afinal tanto [tex3]\lim_{x\to-\infty}\sqrt{x^2+1}[/tex3] quanto [tex3]\lim_{x\to -\infty}(-x)[/tex3] tendem a [tex3]+\infty[/tex3] , logo a soma também tenderá a [tex3]+\infty[/tex3] .




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ti123
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Re: Limite sem L'hopital

Mensagem não lida por ti123 »

AlexandreHDK escreveu:
Sex 11 Out, 2019 20:37
Enfim, na verdade acho que não precisava complicar tanto a resolução, afinal tanto [tex3]\lim_{x\to-\infty}\sqrt{x^2+1}[/tex3] quanto [tex3]\lim_{x\to -\infty}(-x)[/tex3] tendem a [tex3]+\infty[/tex3] , logo a soma também tenderá a [tex3]+\infty[/tex3] .
Se não for incômodo, eu precisaria de uma solução mais detalhada. Minha professora não aceitaria na prova algo assim



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AlexandreHDK
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Re: Limite sem L'hopital

Mensagem não lida por AlexandreHDK »

Sério que ela não aceitaria? Porque esta é uma propriedade da soma de limites:
[tex3]\lim{f(x)}=+\infty, \lim {g(x)}=+\infty\Rightarrow \lim{[f(x)+g(x)}]=+\infty[/tex3]



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ti123
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Re: Limite sem L'hopital

Mensagem não lida por ti123 »

Sei dessa propriedade, mas a soma/diferença de infinitos não é uma indeterminação ?



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AlexandreHDK
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Re: Limite sem L'hopital

Mensagem não lida por AlexandreHDK »

Haha, infinito já é uma indeterminação. A notação [tex3]\lim_{x \to k}{f(x)}=+\infty[/tex3] nos diz que o valor de f(x) cresce indefinidamente quando x vai se aproximando de k, nunca convergindo a um valor fixo. Realmente não estamos somando infinitos.
"O limite da soma de 2 funções que crescem indefinidamente quando x se aproxima a k também cresce indefinidamente quando x se aproxima de k".
As indeterminações que exigem mais trabalho são quando se soma funções nas quais uma vai para +∞ e outra para -∞. Quando ambas vão para +∞, é direto.




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