Ensino Superior ⇒ Continuidade no ponto a Tópico resolvido

[Adonai]

Verifique se a função é contínua no ponto a:
f(x,y)=
[tex3]\frac{x^{2}y^{2}}{\sqrt{y^{2}+1}-1},(x,y)\neq (0,0)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x^{2}y^{2}}{\sqrt{y^{2}+1}-1},(x,y)\neq (0,0)[/tex3]

[tex3]a-4,(x,y)=(0,0)[/tex3]

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[tex3]a-4,(x,y)=(0,0)[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

Para que a função dada seja contínua devemos ter:

[tex3]\lim_{(x,y) \rightarrow \ (0,0)}f(x,y)=a-4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{(x,y) \rightarrow \ (0,0)}f(x,y)=a-4[/tex3]

Então,

[tex3]\lim_{(x,y) \rightarrow \ (0,0)}\frac{x^{2}y^{2}}{\sqrt{y^{2}+1}-1}=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{(x,y) \rightarrow \ (0,0)}\frac{x^{2}y^{2}}{\sqrt{y^{2}+1}-1}=[/tex3]

[tex3]\lim_{(x,y) \rightarrow \ (0,0)}\frac{x^{2}y^{2}.(\sqrt{y^2+1}+1)}{(\sqrt{y^{2}+1}-1).(\sqrt{y^2+1}+1)}=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{(x,y) \rightarrow \ (0,0)}\frac{x^{2}y^{2}.(\sqrt{y^2+1}+1)}{(\sqrt{y^{2}+1}-1).(\sqrt{y^2+1}+1)}=[/tex3]

[tex3]\lim_{(x,y) \rightarrow \ (0,0)}\frac{x^{2}y^{2}.(\sqrt{y^2+1}+1)}{\sqrt{(y^{2}+1)^2}-(1)^2}=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{(x,y) \rightarrow \ (0,0)}\frac{x^{2}y^{2}.(\sqrt{y^2+1}+1)}{\sqrt{(y^{2}+1)^2}-(1)^2}=[/tex3]

[tex3]\lim_{(x,y) \rightarrow \ (0,0)}\frac{x^{2}y^{2}.(\sqrt{y^2+1}+1)}{
y^{2}+\cancel{1}-\cancel{1}}=[/tex3]

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[tex3]\lim_{(x,y) \rightarrow \ (0,0)}\frac{x^{2}y^{2}.(\sqrt{y^2+1}+1)}{
y^{2}+\cancel{1}-\cancel{1}}=[/tex3]

[tex3]\lim_{(x,y) \rightarrow \ (0,0)}\frac{x^{2}\cancel{y^{2}}.(\sqrt{y^2+1}+1)}{
\cancel{y^{2}}}=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{(x,y) \rightarrow \ (0,0)}\frac{x^{2}\cancel{y^{2}}.(\sqrt{y^2+1}+1)}{
\cancel{y^{2}}}=[/tex3]

[tex3]\lim_{(x,y) \rightarrow \ (0,0)}x^{2}.(\sqrt{y^2+1}+1)=0^2.(\sqrt{0^2+1}+1)=0.(1+1)=0.2=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{(x,y) \rightarrow \ (0,0)}x^{2}.(\sqrt{y^2+1}+1)=0^2.(\sqrt{0^2+1}+1)=0.(1+1)=0.2=0[/tex3]

Assim,

a - 4 = 0 → a = 4


Portanto, a função é contínua no ponto a , ou seja , para a = 4 a função f( x , y ) é contínua. C.q.v.



Bons estudos!