Pré-Vestibular ⇒ Equações Irracionais - Álgebra

[Auto Excluído (ID:20047)]

Resolva em [tex3]\mathbb{R}+[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathbb{R}+[/tex3]

a equação:

[tex3]x^{\sqrt{x}}=\sqrt[]{x^{x}}[/tex3]

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[tex3]x^{\sqrt{x}}=\sqrt[]{x^{x}}[/tex3]

Obs: Cortei a imagem da resolução da questão até o ponto em que está a minha dúvida,pois não consegui colocar a imagem da resolução completa dentro do spoiler.

Screenshot(2).png (30.95 KiB) Exibido 988 vezes

A minha dúvida é a seguinte: porque devemos fazer a verificação com 0 e 1?Seria para verificar se a equação é válida para o conjunto que o enunciado me restringe?E porque o 1 entra no conjunto solução?Se os valores de x encontrados fossem,por exemplo,2 e 4,teríamos o 0 dentro do conjunto solução?

Resposta

---

S={0,1,4}

[Nickds]

[tex3]x^{\sqrt{x}}=\sqrt[]{x^{x}}[/tex3]

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[tex3]x^{\sqrt{x}}=\sqrt[]{x^{x}}[/tex3]

Eu sei que pode ser meio dificil perceber isso, mas use logaritmo nos dois lados. Vou fazer isso e usar as propriedades de logaritimos que voce pode ler e entender (colocando o expoente como coeficiente, etc.) e [tex3]\sqrt[2]{2} = 2^{1/2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt[2]{2} = 2^{1/2}[/tex3]

, por exemplo.

[tex3]\log x^{\sqrt{x}}=log\sqrt[]{x^{x}}[/tex3]

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[tex3]\log x^{\sqrt{x}}=log\sqrt[]{x^{x}}[/tex3]

[tex3]\sqrt{x}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{x}[/tex3]

*[tex3]\log x = 1/2*x\log_{}x[/tex3]

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[tex3]\log x = 1/2*x\log_{}x[/tex3]

[tex3]\sqrt{x}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{x}[/tex3]

= [tex3]1/2*x[/tex3]

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[tex3]1/2*x[/tex3]

Elevando ao quadrado

[tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

= [tex3]1/4*x^2[/tex3]

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[tex3]1/4*x^2[/tex3]

[tex3]x - 1/4*x^2[/tex3]

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[tex3]x - 1/4*x^2[/tex3]

= 0

Agora coloca x em evidencia

[tex3]x*(1-1/4*x)[/tex3]

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[tex3]x*(1-1/4*x)[/tex3]

= 0

Para isso x=0 ou 1-1/4*x = 0

Ja achamos uma das soluçoes x = 0, agora a outra

1-1/4*x = 0
-1/4x = -1
1/4x = 1
x = 4

A outra foi x = 4, faltando apenas x = 1.

x = 1 voce encontra por tentativa mesmo, olhando os expoentes mais notórios (1,0).