Ensino Superior ⇒ Derivada da função implícita Tópico resolvido

[Auto Excluído (ID:20100)]

Suponha que y =f(x) seja uma função derivável e dada implicitamente pela equação [tex3]xy^2+y+x=1[/tex3]

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[tex3]xy^2+y+x=1[/tex3]

. Mostre que f'(x)=[tex3]\frac{-1-[f(x)]^2}{2xf(x)+1}[/tex3]

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[tex3]\frac{-1-[f(x)]^2}{2xf(x)+1}[/tex3]

em todo x [tex3]\in D_f[/tex3]

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[tex3]\in D_f[/tex3]

com [tex3]2xf(x)+1\neq 0[/tex3]

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[tex3]2xf(x)+1\neq 0[/tex3]

[Matheusrpb]

Bom dia, amandaperrea !

[tex3]x y^2 + y + x = 1[/tex3]

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[tex3]x y^2 + y + x = 1[/tex3]

Derivando:

[tex3]\frac{d}{dx} ( xy^2) + \frac{d}{dx}y + \frac{d}{dx}x = \frac{d}{dx}\cdot1[/tex3]

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[tex3]\frac{d}{dx} ( xy^2) + \frac{d}{dx}y + \frac{d}{dx}x = \frac{d}{dx}\cdot1[/tex3]

[tex3](1 \cdot y^2 + x \cdot 2 \cdot y \cdot y') + 1 \cdot y' + 1 = 0[/tex3]

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[tex3](1 \cdot y^2 + x \cdot 2 \cdot y \cdot y') + 1 \cdot y' + 1 = 0[/tex3]

[tex3]y'(2xy + 1) = -1 - y^2[/tex3]

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[tex3]y'(2xy + 1) = -1 - y^2[/tex3]

[tex3]y' = \frac{-1 - y^2}{2xy + 1} [/tex3]

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[tex3]y' = \frac{-1 - y^2}{2xy + 1} [/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{f'(x) = \frac{-1 - [f(x)]^2}{2xf(x) + 1} \space \rightarrow \space 2xf(x) + 1 ≠ 0}} [/tex3]

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[tex3]\boxed{\boxed{f'(x) = \frac{-1 - [f(x)]^2}{2xf(x) + 1} \space \rightarrow \space 2xf(x) + 1 ≠ 0}} [/tex3]

[Auto Excluído (ID:20100)]

Bom dia! Pq fica [tex3]\frac{d}{dx} [/tex3]

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[tex3]\frac{d}{dx} [/tex3]

e não [tex3]\frac{dy}{dx} [/tex3]

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[tex3]\frac{dy}{dx} [/tex3]

?

[snooplammer]

amandaperrea,

Essa notação [tex3]\frac{df(x)}{dx}[/tex3]

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[tex3]\frac{df(x)}{dx}[/tex3]

significa derivar f(x) em relação a x, mas não necessariamente f(x) vai ser a única função

você pode ter [tex3]\frac{d(g(x))}{dx}+\frac{d(h(x))}{dx}[/tex3]

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[tex3]\frac{d(g(x))}{dx}+\frac{d(h(x))}{dx}[/tex3]

sem problemas, entendeu?