Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST - 1998) Trigonometria: Soma de Arcos Tópico resolvido

[ALDRIN]

Nos triângulos retângulos da figura, [tex3]\overline{AC}=1\text{ cm},[/tex3]

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[tex3]\overline{AC}=1\text{ cm},[/tex3]

[tex3]\overline{BC}=7\text{ cm}[/tex3]

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[tex3]\overline{BC}=7\text{ cm}[/tex3]

e [tex3]\overline{AD}=\overline{BD}.[/tex3]

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[tex3]\overline{AD}=\overline{BD}.[/tex3]

Sabendo que [tex3]\text{sen}(a-b)=\text{sen} a\cdot \cos b-\cos a\cdot \text{sen} b,[/tex3]

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[tex3]\text{sen}(a-b)=\text{sen} a\cdot \cos b-\cos a\cdot \text{sen} b,[/tex3]

o valor de [tex3]\text{sen} x[/tex3]

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[tex3]\text{sen} x[/tex3]

é:

• 

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a) [tex3]\frac{sqrt{2}}{2}.[/tex3]

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[tex3]\frac{sqrt{2}}{2}.[/tex3]

b) [tex3]\frac{7}{\sqrt{50}}.[/tex3]

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[tex3]\frac{7}{\sqrt{50}}.[/tex3]

c) [tex3]\frac{3}{5}.[/tex3]

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[tex3]\frac{3}{5}.[/tex3]

d) [tex3]\frac{4}{5}.[/tex3]

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[tex3]\frac{4}{5}.[/tex3]

e) [tex3]\frac{1}{\sqrt{50}}.[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{\sqrt{50}}.[/tex3]

Resposta:

---

c

[adrianotavares]

Aplicando o teorema de Pitágoras no [tex3]\triangle ABC[/tex3]

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[tex3]\triangle ABC[/tex3]

obtemos

• [tex3]\overline{AB}^2 =\overline{BC}^2+\overline{AC}^2\Longrightarrow \overline{AB}= 5 \sqrt{2}\text{ cm}.[/tex3]

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  [tex3]\overline{AB}^2 =\overline{BC}^2+\overline{AC}^2\Longrightarrow \overline{AB}= 5 \sqrt{2}\text{ cm}.[/tex3]

Logo,

• [tex3]\text{sen}B\widehat{A}C= \frac{7}{5 \sqrt{2}}[/tex3]

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  [tex3]\text{sen}B\widehat{A}C= \frac{7}{5 \sqrt{2}}[/tex3]

  e [tex3]\cos B\widehat{A}C = \frac{1}{5\sqrt{2}}.[/tex3]

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  [tex3]\cos B\widehat{A}C = \frac{1}{5\sqrt{2}}.[/tex3]

Como o triângulo [tex3]ABD[/tex3]

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[tex3]ABD[/tex3]

é retângulo isósceles, segue que [tex3]D\widehat{B}A \equiv B\widehat{A}D=45^\circ[/tex3]

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[tex3]D\widehat{B}A \equiv B\widehat{A}D=45^\circ[/tex3]

e, portanto, [tex3]x = B\widehat{A}C - 45^\circ .[/tex3]

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[tex3]x = B\widehat{A}C - 45^\circ .[/tex3]

Desse modo,

• [tex3]\text{sen}x = \text{sen}(B\widehat{A}C - 45^\circ) = \frac{7}{5 \sqrt{2}}\cdot \frac{sqrt{2}}{2} - \frac{sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{5\sqrt{2}}= \frac{7}{10} - \frac{1}{10}= \frac{3}{5}.[/tex3]

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  [tex3]\text{sen}x = \text{sen}(B\widehat{A}C - 45^\circ) = \frac{7}{5 \sqrt{2}}\cdot \frac{sqrt{2}}{2} - \frac{sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{5\sqrt{2}}= \frac{7}{10} - \frac{1}{10}= \frac{3}{5}.[/tex3]

Letra (c).