Ensino Médio

Mensagem não lidapor **geobson** » 21 Jul 2019, 14:34 · Mensagem não lida por **geobson** » 21 Jul 2019, 14:34

Na figura , calcule MD, sabendo que BM=6m e DE=1m.

A) 1m
B) 0,5m
C) 1,5m
D) 2m
E) 3m

Resposta

D

21 Jul 2019, 15:13

O [tex3]M[/tex3] é ponto médio? Ou é um ponto qualquer?

Mensagem não lidapor **geobson** » 21 Jul 2019, 15:20 · Mensagem não lida por **geobson** » 21 Jul 2019, 15:20

acredito que seja um ponto qualquer ,pois no problema não diz nada .alias, problema esse envolvendo incírculo mixtilinear muito parecido com aqueles problemas de inversão de pólo que voce respondeu.

Mensagem não lidapor **geobson** » 21 Jul 2019, 16:17 · Mensagem não lida por **geobson** » 21 Jul 2019, 16:17

Observando bem, percebemos dois pontinhos entre PM e MQ . Não seria para indicar , de fato, que M E o ponto médio de PQ ?

21 Jul 2019, 17:07

olha, eu acho que M é arbitrário, mas eu não estou conseguindo fazer para o caso geral, vou fazer assumindo que ele é ponto médio. Se depois eu encontrar alguma coisa eu tento fazer pro M arbitrário:

Se [tex3]M[/tex3] for o incentro de [tex3]\Delta ABC[/tex3]

então do teorema do incentro:
[tex3]\frac{MB}{MD} = \frac{a+c}{b} \iff \frac{BD}{MD} = \frac{a+b+c}b \iff MD = \frac{b}{2p} \cdot BD = \frac b{2p} \cdot \frac{2ac \cdot \cos \frac{B}2}{a+c}[/tex3]
de onde
[tex3]MB = \frac{ac \cos \frac{B}2}{p}[/tex3]
sabemos que [tex3]EM = EA = EC = \frac{\frac b2}{\cos \frac B2} = \frac b{2\cos \frac B2}[/tex3]
usando por fim a relação não tão comum:
[tex3]ac \cos^2 \frac B2 = p(p-b)[/tex3]
chegamos que
[tex3]\frac{MB}{ME} = \frac{2(p-b)}b \iff \frac{6}{1 + MD} = \frac{a+c - b}{b} = \frac{MB}{MD} -1[/tex3]
[tex3]\frac6{1+x} = \frac6x -1 \iff x=2[/tex3]

parece dificil generalizar isso, acho que talvez usando que PQ [e polar de B e pensando na divisão harmônica da secante BM em relação ao incírculo saia alguma coisa, mas precisa de algo a mais ainda

Mensagem não lidapor **geobson** » 21 Jul 2019, 17:16 · Mensagem não lida por **geobson** » 21 Jul 2019, 17:16

fabuloso , amigo ! valeu !

21 Jul 2019, 17:18

ainda acho que dá pra generalizar, desse jeito deu muita conta. Acho que usando que PQ é polar de B e pensando na secante BM sai alguma coisa

21 Jul 2019, 17:22

estou pensando em usar o fato de que [tex3]PQ[/tex3] é polar de [tex3]B[/tex3] em relação ao incírculo mixtilíneo:
isso implica que ela divide a secante [tex3]BM[/tex3] harmonicamente (teorema 8 do meu tópico de pólos e polares) e depois brincar com as potências dos pontos.

Então veja sejam [tex3]X[/tex3] e [tex3]Y[/tex3] os encontros de [tex3]BM[/tex3] com o incírculo com [tex3]X[/tex3] mais próximo de [tex3]B[/tex3] do que [tex3]Y[/tex3] .

Como [tex3]BM[/tex3] é secante temos então [tex3]\frac{MX}{MY} = \frac{BX}{BY}[/tex3]
o que parece ajudar bastante o proble é incluir [tex3]ME[/tex3] ai no meio

Mensagem não lidapor **geobson** » 31 Jul 2021, 10:19 · Mensagem não lida por **geobson** » 31 Jul 2021, 10:19

Aprofunde- se mais nas propriedades do incírculo mixtilinear em :
viewtopic.php?t=73347

Mensagem não lidapor **NigrumCibum** » 31 Jul 2021, 10:43 · 31 Jul 2021, 10:43

Dá pra provar um caso mais geral, onde D varia ao longo do lado AB. Provando as duas propriedades dá pra provar que I é incentro.

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