Ensino Médio ⇒ Incírculo Mixtilinear 1 Tópico resolvido

[geobson]

Na figura P, Q e T são pontos de tangência .PM=4. Calcule MQ.

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A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6

Resposta

---

E

[Auto Excluído (ID:12031)]

ai sim, meu jovem!

Da homotetia entre os dois círculos pelo ponto de contato o encontro da reta [tex3]PT[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]PT[/tex3]

com o circuncírculo de [tex3]\Delta ABC[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta ABC[/tex3]

é o ponto médio do arco [tex3]AB[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]AB[/tex3]

.
(conforme demonstrado no tópico do Incírculo mixtilinear ou restando dúvida quanto a homotetia a prova que os círculos tangentes são homotéticos pelo ponto de contato está aqui.)

então a reta [tex3]CM[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]CM[/tex3]

é bissetriz do vértice [tex3]C[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C[/tex3]

o encontro dessa bissetriz com a reta [tex3]PQ[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]PQ[/tex3]

é o incentro do triângulo [tex3]\Delta ABC[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta ABC[/tex3]

que no caso é [tex3]M[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]M[/tex3]

portanto [tex3]PM=MQ = 4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]PM=MQ = 4[/tex3]

pelo lema 2 do tópico de incírculo mixtilinear

[geobson]

lembro sim , meu caro amigo. alias acho fascinante esse assunto envolvendo homotetia e também incírculo mixtilinear. agora , acho que deve haver erro de gabarito , pois no livro diz que é 6 como resposta.

[Auto Excluído (ID:12031)]

eu acho que é um erro de gabarito, você pode conferir no geogebra que o que ocorre é exatamente aquilo: o encontro das retas deve ser o incentro e ele sempre é ponto médio. Ate nessa figura mesmo dá pra ver que as medidas de MQ e MP são parecidas

[geobson]

Aprenda mais sobre incírculo mixtilinear em:
viewtopic.php?t=73347

[geobson]

Resumo visual da solução