Pré-Vestibular ⇒ FUVEST- Tetraedro regular Tópico resolvido

[Augustus]

Em um tetraedro regular de lado a, a distância entre os pontos médios de duas arestas não adjacentes é igual a:

a) a√3
b) a√2
c) a√3/2
d) a√2/2
e) a√2/4

Resposta

---

[tex3]D[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]D[/tex3]

Como provar que, a partir do ponto médio de uma arestra, um triângulo retângulo é formado (quando intercepta o ponto médio da outra arestra)?

[petras]

tetraedro é regular: Faces são triângulos equiláteros
Na face BCD o segmento CF é mediana e altura, bissetriz e mediatriz portanto BCF e CFD são triângulos retângulos.
Usando Pitágoras teremos CF = AF [tex3]\rightarrow CF^2=a^2-(\frac{a}{2})^2=\frac{a\sqrt{3}}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rightarrow CF^2=a^2-(\frac{a}{2})^2=\frac{a\sqrt{3}}{2}[/tex3]

[tex3]\Delta_{AFC}~é~isósceles (AF=CF)\\
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta_{AFC}~é~isósceles (AF=CF)\\
[/tex3]

Pitágoras em EFC:
[tex3]EF^2=(\frac{a\sqrt{3}}{2})^2-(\frac{a}{2})^2\rightarrow EF = \frac{a\sqrt{2}}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]EF^2=(\frac{a\sqrt{3}}{2})^2-(\frac{a}{2})^2\rightarrow EF = \frac{a\sqrt{2}}{2}[/tex3]

[Augustus]

tetraedro é regular: Faces são triângulos equiláteros
Na face BCD o segmento CF é mediana e altura, bissetriz e mediatriz portanto BCF e CFD são triângulos retângulos.
Usando Pitágoras teremos CF = AF [tex3]\rightarrow CF^2=a^2-(\frac{a}{2})^2=\frac{a\sqrt{3}}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rightarrow CF^2=a^2-(\frac{a}{2})^2=\frac{a\sqrt{3}}{2}[/tex3]

[tex3]\Delta_{AFC}~é~isósceles (AF=CF)\\
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta_{AFC}~é~isósceles (AF=CF)\\
[/tex3]

Pitágoras em EFC:
[tex3]EF^2=(\frac{a\sqrt{3}}{2})^2-(\frac{a}{2})^2\rightarrow EF = \frac{a\sqrt{2}}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]EF^2=(\frac{a\sqrt{3}}{2})^2-(\frac{a}{2})^2\rightarrow EF = \frac{a\sqrt{2}}{2}[/tex3]

Petras, por que EFC é triângulo? Eu estava entendendo sua explicação até chegar nesse ponto. O baricentro e ortocentro de um triângulo isósceles coincidem?

[petras]

Augustus,
"por que EFC é triângulo? " Talvez sua pergunta seja por que EFC é triângulo retângulo?
Altura e mediana se coincidem no triângulo isósceles.