Ensino Médio ⇒ Circunferência

[botelho]

Tem-se uma semicircunferência de centro O, se PQ=QB, PA=AO e PS=10,cacular QS.

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a)6
b)4
c)5
d)7
e)8

Resposta

---

c

[geobson]

Basta aplicar o círculo de apolônio.

[Babi123]

geobson, oq garante que estes pontos determinam o círculo de Apolônio?

[Killin]

Chamando AO de R temos o seguinte: PA=AO=OB=R. Logo, como PQ=QB temos que 2PQ = 3R -> PQ=QB=3R/2. Sendo assim, QO = 2R - 3R/2 = R/2.


Aplicando a Relação de Stewart no triângulo POS e chamando QS de x temos:


[tex3]PS^2 \cdot QO+OS^2\cdot PQ=x^2\cdot PO+PQ \cdot QO \cdot PO \\100\cdot \frac{R}{2}+R^2 \cdot\frac{3R}{2}=x^2 \cdot2R +\frac{3R}{2} \cdot \frac{R}{2} \cdot2R \\ 100+3R^2=4x^2+3R^2 \\\therefore x^2=25 \rightarrow \boxed{x=5} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]PS^2 \cdot QO+OS^2\cdot PQ=x^2\cdot PO+PQ \cdot QO \cdot PO \\100\cdot \frac{R}{2}+R^2 \cdot\frac{3R}{2}=x^2 \cdot2R +\frac{3R}{2} \cdot \frac{R}{2} \cdot2R \\ 100+3R^2=4x^2+3R^2 \\\therefore x^2=25 \rightarrow \boxed{x=5} [/tex3]

[geobson]

Observe que A e B dividem PQ harmonicamente

[geobson]

geobson, oq garante que estes pontos determinam o círculo de Apolônio?

Nada garante até porque não faz sentido o que falei hehe.......
Nada a ver com círculo de Apolonius conforme
Explicação abaixo do livro do Morgado.

[geobson]

geobson, oq garante que estes pontos determinam o círculo de Apolônio?

botelho e Babi123, A e B são conjugados harmônicos do segmento PQ , logo AS é bissetriz interna e SB , externa . Assim temos o lugar geométrico denominado cículo de Apolonius .
Entao ja sabemos que a razão conforme a qual o círculo foi construído é 2 , assim [tex3]\frac{PS}{AQ}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{PS}{AQ}[/tex3]

=2. Logo QS=5.