Ensino Superior ⇒ [Álgebra Linear] Polinômio da Matriz Canônica Tópico resolvido

[LucasBlade]

Para F(x,y,z) = (2x,x-y,3x-2z) uma aplicação linear, encontre o polinômio característico da matriz canônica de F.

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

Temos que:

[tex3]F(x,y,z) =(2x + 0y + 0z,x - y + 0z, 3x+0y-2z)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]F(x,y,z) =(2x + 0y + 0z,x - y + 0z, 3x+0y-2z)[/tex3]

A matriz ( F )[tex3]_{B}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]_{B}[/tex3]

que representa F com relação a base canônica B do IR³ é dada por:

[tex3](F)_{B}=\left[ \begin{array}{ccc}
2 & 0 & 0 \\
1 & -1 & 0\\
3 & 0 & -2
\end{array} \right][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](F)_{B}=\left[ \begin{array}{ccc}
2 & 0 & 0 \\
1 & -1 & 0\\
3 & 0 & -2
\end{array} \right][/tex3]

O polinômio característico de F é dado por:


[tex3]P(\lambda )=det((F)_{B}-\lambda I_{3})=\left[ \begin{array}{ccc}
2-\lambda & 0 & 0 \\
1 & -1-\lambda & 0\\
3 & 0 & -2-\lambda
\end{array} \right][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P(\lambda )=det((F)_{B}-\lambda I_{3})=\left[ \begin{array}{ccc}
2-\lambda & 0 & 0 \\
1 & -1-\lambda & 0\\
3 & 0 & -2-\lambda
\end{array} \right][/tex3]

Desenvolvendo, resulta que;

[tex3]P(\lambda)=(2-\lambda )(-1-\lambda )(-2-\lambda )-0 [/tex3]

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[tex3]P(\lambda)=(2-\lambda )(-1-\lambda )(-2-\lambda )-0 [/tex3]

[tex3]P(\lambda)=(-1)(-1).(2- \lambda )(2+\lambda )(1+\lambda )[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P(\lambda)=(-1)(-1).(2- \lambda )(2+\lambda )(1+\lambda )[/tex3]

[tex3]P(\lambda)=(2^2- \lambda^2 )(1+\lambda )[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P(\lambda)=(2^2- \lambda^2 )(1+\lambda )[/tex3]

Portanto,

[tex3]P(\lambda)=(4- \lambda^2 )(1+\lambda )[/tex3]

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[tex3]P(\lambda)=(4- \lambda^2 )(1+\lambda )[/tex3]

Ou

P( λ ) = - λ³ - λ² + 4λ + 4



Bons estudos!