Minha solução com muitas contas (
):
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Seja [tex3]CM[/tex3]
a altura de [tex3]\Delta BCO[/tex3]
,como este triângulo é isósceles isso acarreta que [tex3]CM[/tex3]
também é mediana, ou seja, [tex3]BM=MO[/tex3]
. Além disso, considere os arcos [tex3]DE \ \ e \ \ FB[/tex3]
, respectivamente, iguais a [tex3]2\alpha[/tex3]
e [tex3]2\theta[/tex3]
.
[tex3]\Delta DBE[/tex3]
~ [tex3]\Delta CBM[/tex3]
, pois [tex3]\angle BDE=90^o[/tex3]
( enxerga o arco [tex3]BE[/tex3]
) e [tex3]\angle DBE=\alpha[/tex3]
é comum ambos os triângulos. Então:
[tex3]\frac{4}{2R}=\frac{\frac{R}{2}}{6}\\
R^2=24\\
\boxed{R=2\sqrt{6}}[/tex3]
Aplicando Teo. Pit. em [tex3]\Delta MCO[/tex3]
:
[tex3]4^2=(\sqrt{6})^2+(MC)^2\\
\boxed{MC=\sqrt{10}}[/tex3]
Aplicando Teo. Pit. em [tex3]\Delta MCE[/tex3]
:
[tex3](CE)^2=(\sqrt{10})^2+(2\sqrt{6}+\sqrt{6})^2\\
(CE)^2=10+54\\
CE=\sqrt{64}\\
\boxed{CE=8}[/tex3]
[tex3]\Delta COE[/tex3]
~[tex3]\Delta EFT[/tex3]
, pois [tex3]\angle BEF[/tex3]
é comum a ambos os triângulos e [tex3]\angle COE=\angle EFT=180^o-\alpha[/tex3]
. Então temos:
[tex3]\frac{8}{2\sqrt{6}}=\frac{4\sqrt{6}+TB}{8}\\
\boxed{TB=\frac{4\sqrt{6}}{3}}[/tex3]
[tex3]\Delta ATB[/tex3]
~ [tex3]\Delta BMC[/tex3]
pois [tex3]\angle CMB=\angle TAB=90^o[/tex3]
e [tex3]\angle CBM=\angle ABT=\alpha[/tex3]
(são o.p.v).
Então, finalmente temos:
[tex3]\frac{4}{\frac{4\sqrt{6}}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{AB}\\
4AB=\frac{4\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}}{3}\\
AB=\frac{6}{3}\\
\boxed{\boxed{AB=2}}[/tex3]