Ensino FundamentalCircunferência Tópico resolvido

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Fundamental devem ser postados aqui (exceto problemas de Vestibulares).

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Angelita
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Circunferência

Mensagem não lida por Angelita »

Se A é ponto de tangência,calcule x m função de R e r.
raio.PNG
raio.PNG (21.39 KiB) Exibido 581 vezes
a)R+r
b)R-r
c)2[tex3]\sqrt{Rr}[/tex3]
d)[tex3]\sqrt{Rr}[/tex3]
e)3[tex3]\sqrt{Rr}[/tex3]
Resposta

d




Auto Excluído (ID:12031)
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Re: Circunferência

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) »

o legal é que não depende da posição dessa reta perpendicular, mas não consigo ver um jeito esperto de resolver esse ainda




Auto Excluído (ID:12031)
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Re: Circunferência

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) »

acho que é quase um problema de física, se colocar a reta descendo com velocidade constante deve dar pra mostrar que o centro do círculo gira em torno do ponto A



Auto Excluído (ID:12031)
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Jun 2019 30 19:40

Re: Circunferência

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) »

Acho que eu consegui alguma coisa:

Sejam [tex3]X[/tex3] e [tex3]Y[/tex3] respectivamente os encontros da perpendicular com o círculo menor e com o círculo maior.

Sejam também [tex3]O[/tex3] o centro do círculo maior, [tex3]o[/tex3] o centro do círculo menor e [tex3]Z[/tex3] o centro do círculo médio.

Sejam [tex3]K[/tex3] o ponto de encontro da reta [tex3]XY[/tex3] com a reta [tex3]Oo[/tex3] , [tex3]M = oZ \cap AX[/tex3] e [tex3]N = XY \cap oZ[/tex3] .

A reta [tex3]oZ[/tex3] é mediatriz de [tex3]AX[/tex3] e a reta [tex3]OZ[/tex3] é mediatriz de [tex3]AY[/tex3]

Logo o quadrilátero [tex3]AKNM[/tex3] é cíclico pois tem dois angulos retos opostos.
Isso implica que [tex3]\angle AXK = \angle AoZ[/tex3]
Analogamente [tex3]\angle AOZ = \angle AYK[/tex3]

logo
[tex3]\Delta ZoO \sim \Delta AYX[/tex3]
de forma que
[tex3]\frac{XY}{Oo} = \frac{AK}{h_z} \iff \frac{XY}{\sin \angle XAY} = \frac{AK \cdot Oo}{h_z \sin \angle XAY} [/tex3]



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jvmago
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Jun 2019 30 20:20

Re: Circunferência

Mensagem não lida por jvmago »

POR!¨%@!¨PIMBADA DISGRAÇA!!!


Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.

Auto Excluído (ID:12031)
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Re: Circunferência

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) »

Não tá reesolvida ainda né hahahaha, estou tentando mostrar que o raio não depende da posição de K, por isso o [tex3]\frac{XY}{\sin \angle XAY}[/tex3]



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jvmago
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Re: Circunferência

Mensagem não lida por jvmago »

sousóeu escreveu:
Dom 30 Jun, 2019 20:22
Não tá reesolvida ainda né hahahaha, estou tentando mostrar que o raio não depende da posição de K, por isso o [tex3]\frac{XY}{\sin \angle XAY}[/tex3]
Preocupa com isso não, matei por semelhança! Segura aí que to postando essa [email protected]%!¨!


Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.

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Re: Circunferência

Mensagem não lida por jvmago »

1561937032016-1946644748.jpg
1561937032016-1946644748.jpg (26.23 KiB) Exibido 355 vezes


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Re: Circunferência

Mensagem não lida por jvmago »

Desculpe a demora, estava tomando um ar. Partiu resolver essa &*%$#!

Comecemos convencionando [tex3]MC=PF=n[/tex3] , [tex3]CD=DF=m[/tex3] , [tex3]DN=k[/tex3] e [tex3]NE=r[/tex3]

Das marcações anteriores temos [tex3]DP=m+n[/tex3] e agora vamos começar essa brincadeira

Por potencia de ponto em [tex3]D[/tex3] :

[tex3](m+n)^2=(k+r)(2R-(k+r))[/tex3]

[tex3](k+r)^2=m(m+n)[/tex3]

Como [tex3]E[/tex3] é ponto de tangencia, então as circunferencias são ortogonais! (isso será importante)

Trace [tex3]OP=R[/tex3] e por pit:

[tex3](R-(k+r))^2+(m+n)^2=R^2[/tex3] Vamos abrir isso
[tex3]R^2-2R(k+r)+(k+r)^2+(m+n)^2=R^2[/tex3]
[tex3]2R(k+r)=(k+r)^2+(m+n)^2[/tex3] (ESSA É A AMIGA QUE MATARÁ O PROBLEMA, GUARDE EM SEGURANÇA)

Trace a perpendicular [tex3]O'H=k+r[/tex3] Por pit em [tex3]\Delta PO'H[/tex3]

[tex3](k+r)^2+((m+n)-x)^2=x^2[/tex3] vamos abrir essa bosta
[tex3](m+n)^2-2x(m+n)+x^2+(k+r)^2=x^2[/tex3]
[tex3](m+n)^2+(k+r)^2=2x(m+n)[/tex3] (juntando essa com a amiga la de cima)

[tex3]2x(m+n)=2R(k+r)[/tex3]
[tex3]\frac{x}{R}=\frac{k+r}{m+n}[/tex3]

Lembram que [tex3](k+r)^2=m(m+n)[/tex3]
[tex3](m+n)=\frac{(k+r)^2}{m}[/tex3] PORTANTO

[tex3]\frac{x}{R}=\frac{k+r}{\frac{(k+r)^2}{m}}[/tex3]
[tex3]\frac{x}{R}=\frac{m}{k+r}[/tex3]

Por fim repare que [tex3]\Delta DNF[/tex3] ~~[tex3]\Delta HO'P[/tex3] tal que

[tex3]\frac{O'H}{DF}=\frac{O'P}{NF}[/tex3]
[tex3]\frac{k+r}{m}=\frac{x}{r}[/tex3] tal que [tex3]\frac{m}{k+r}=\frac{r}{x}[/tex3] substituindo:

[tex3]\frac{x}{R}=\frac{m}{k+r}[/tex3]
[tex3]\frac{x}{R}=\frac{r}{x}[/tex3]
[tex3]x=\sqrt{ab}[/tex3]

[tex3]PIMABADA[/tex3]
Última edição: Jigsaw (Sex 28 Fev, 2020 19:03). Total de 1 vez.


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Re: Circunferência

Mensagem não lida por jvmago »

sousóeu escreveu:
Dom 30 Jun, 2019 20:22
Não tá reesolvida ainda né hahahaha, estou tentando mostrar que o raio não depende da posição de K, por isso o [tex3]\frac{XY}{\sin \angle XAY}[/tex3]
Se conseguir provar o lance, posta aí, estou curioso sobre!



Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.

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