Boa Noite, alguém pode me ajudar com esses exercícios?
Eis as questões:
(a) De quantas maneiras dez pessoas podem se sentar em uma mesa circular
com nove lugares, se exatamente duas pessoas se sentam uma no colo da outra?
(b) De quantas maneiras dez pessoas podem se sentar numa roda gigante com
cinco cadeiras de dois lugares, cada?
(c) De quantas maneiras dez pessoas podem ocupar quatro vagas de garçom,
três vagas de cozinheiro, duas vagas de lavador de pratos, e uma vaga de
carregador de lixo?
(d) De quantas maneiras dez pessoas, entre elas Abel e Beto, podem ocupar
as mesmas vagas especificadas no item (c), se Abel não pode ocupar uma vaga
de cozinheiro e Beto não pode ocupar uma vaga de lavador de pratos?
Obrigado à todos!!
Ensino Médio ⇒ Análise Combinatória Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Mai 2019
16
09:21
Re: Análise Combinatória
Permutação circular não é a minha especialidade. Tem o gabarito?
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Mai 2019
16
10:32
Re: Análise Combinatória
Eu vou começar a questão e qualquer coisa quando eu termino quando tiver mais tempo depois (se o Marcelo não terminar antes).
[tex3]\text{a)} \,[/tex3] Há [tex3]C_{10}^2 = 45[/tex3] modos de escolher duas pessoas para que uma sente-se no colo da outra. Há [tex3]2[/tex3] modos de determinar quem irá sentar no colo. Por fim, devemos formar uma roda com [tex3]8[/tex3] pessoas e um bloco constituído pelas duas pessoas em que uma delas está no colo da outra, isso pode ser feito de [tex3](PC)_{9} = (9-1) = 8![/tex3] modos.
Acredito que a resposta seja [tex3]45 \times 2 \times 8![/tex3]
[tex3]\text{b)} \,[/tex3] Inicialmente vamos dividir as [tex3]10[/tex3] pessoas em [tex3]5[/tex3] grupos de duas pessoas cada um. Isso pode ser feito de [tex3]\frac{C_{10}^{2} \cdot C_{8}^{2} \cdot C_{6}^{2} \cdot C_{4}^{2} \cdot C_{2}^{2} }{5!} = 945 [/tex3] modos. Além disso, cada grupo deve ser multiplicado por [tex3]2, \,[/tex3] a fim de considerar a ordem que duas pessoas vão ocupar em cada banco. Finalmente, multiplicar por [tex3]4![/tex3] permuta circularmente os [tex3]5[/tex3] grupos de duas pessoas.
A resposta é [tex3]945 \times 2^5 \times 4![/tex3]
[tex3]\text{a)} \,[/tex3] Há [tex3]C_{10}^2 = 45[/tex3] modos de escolher duas pessoas para que uma sente-se no colo da outra. Há [tex3]2[/tex3] modos de determinar quem irá sentar no colo. Por fim, devemos formar uma roda com [tex3]8[/tex3] pessoas e um bloco constituído pelas duas pessoas em que uma delas está no colo da outra, isso pode ser feito de [tex3](PC)_{9} = (9-1) = 8![/tex3] modos.
Acredito que a resposta seja [tex3]45 \times 2 \times 8![/tex3]
[tex3]\text{b)} \,[/tex3] Inicialmente vamos dividir as [tex3]10[/tex3] pessoas em [tex3]5[/tex3] grupos de duas pessoas cada um. Isso pode ser feito de [tex3]\frac{C_{10}^{2} \cdot C_{8}^{2} \cdot C_{6}^{2} \cdot C_{4}^{2} \cdot C_{2}^{2} }{5!} = 945 [/tex3] modos. Além disso, cada grupo deve ser multiplicado por [tex3]2, \,[/tex3] a fim de considerar a ordem que duas pessoas vão ocupar em cada banco. Finalmente, multiplicar por [tex3]4![/tex3] permuta circularmente os [tex3]5[/tex3] grupos de duas pessoas.
A resposta é [tex3]945 \times 2^5 \times 4![/tex3]
Última edição: MateusQqMD (Qui 16 Mai, 2019 14:42). Total de 1 vez.
Razão: acrescentar o expoente do 2 no item b).
Razão: acrescentar o expoente do 2 no item b).
"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."
-
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Mai 2019
16
12:50
Re: Análise Combinatória
O item [tex3]\text{c)}[/tex3]
A resposta é [tex3]210 \times 20 \times 3 \times 1 = 12600.[/tex3]
é mais tranquilo. Para as vagas de garçom, têm-se [tex3]C_{10}^4 = 210[/tex3]
modos de escolher quatro pessoas. Para as vagas de cozinheiro, haverá [tex3]C_6^3 = 20[/tex3]
opções de escolha (não podemos escolher as pessoas que foram selecionadas para as vagas de garçom). Para as vagas de lavador de pratos, [tex3]C_{3}^2 = 3[/tex3]
modos de escolha, de sorte que a vaga de carregador de lixo fica determinada: é da pessoa que não foi escolhida até agora!A resposta é [tex3]210 \times 20 \times 3 \times 1 = 12600.[/tex3]
"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."
Mai 2019
16
14:54
Re: Análise Combinatória
Boa tarde, Infelizmente não tenho o gabarito, csmarcelo. E muito obrigado ao MateusQqMD pelos esclarecimentos, pois essa parte eu sempre tive muita dificuldades. Abraços aos dois!
Mai 2019
16
14:57
Re: Análise Combinatória
Não tinha reparado que nem todas as questões são de permutação circular.
(d)
Acredito que a forma mais fácil de resolver seja pela diferença.
Colocando Abel como cozinheiro, teríamos [tex3]C^4_9\cdot C^{3-1}_5\cdot C^2_3\cdot C^1_1=3780[/tex3] formas de montar as equipes.
Colocando Beto como lavador de pratos, teríamos [tex3]C^4_9\cdot C^3_5\cdot C^{2-1}_2\cdot C^1_1=2520[/tex3] formas de montar as equipes.
No entanto, existem [tex3]C^4_8\cdot C^{3-1}_4\cdot C^{2-1}_2\cdot C^1_1=840[/tex3] formas de montar as equipes onde colocamos Abel como cozinheiro e Beto como lavador de pratos.
Assim, existem [tex3]3780+2520-840=5460[/tex3] formas de montar as equipes onde colocamos Abel como cozinheiro ou Beto como lavador de pratos.
Não colocar nem Abel como cozinheiro nem Beto como lavador de pratos é a diferença para o total de formas sem restrição alguma. Logo, existem [tex3]12600-5460=7140[/tex3] formas de montar as equipes com as restrições mencionadas.
Acredito que seja isso.
(d)
Acredito que a forma mais fácil de resolver seja pela diferença.
Colocando Abel como cozinheiro, teríamos [tex3]C^4_9\cdot C^{3-1}_5\cdot C^2_3\cdot C^1_1=3780[/tex3] formas de montar as equipes.
Colocando Beto como lavador de pratos, teríamos [tex3]C^4_9\cdot C^3_5\cdot C^{2-1}_2\cdot C^1_1=2520[/tex3] formas de montar as equipes.
No entanto, existem [tex3]C^4_8\cdot C^{3-1}_4\cdot C^{2-1}_2\cdot C^1_1=840[/tex3] formas de montar as equipes onde colocamos Abel como cozinheiro e Beto como lavador de pratos.
Assim, existem [tex3]3780+2520-840=5460[/tex3] formas de montar as equipes onde colocamos Abel como cozinheiro ou Beto como lavador de pratos.
Não colocar nem Abel como cozinheiro nem Beto como lavador de pratos é a diferença para o total de formas sem restrição alguma. Logo, existem [tex3]12600-5460=7140[/tex3] formas de montar as equipes com as restrições mencionadas.
Acredito que seja isso.
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