Ensino MédioAnálise Combinatória Tópico resolvido

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FRhaziel
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Análise Combinatória

Mensagem não lida por FRhaziel »

Boa Noite, alguém pode me ajudar com esses exercícios?
Eis as questões:

(a) De quantas maneiras dez pessoas podem se sentar em uma mesa circular
com nove lugares, se exatamente duas pessoas se sentam uma no colo da outra?

(b) De quantas maneiras dez pessoas podem se sentar numa roda gigante com
cinco cadeiras de dois lugares, cada?

(c) De quantas maneiras dez pessoas podem ocupar quatro vagas de garçom,
três vagas de cozinheiro, duas vagas de lavador de pratos, e uma vaga de
carregador de lixo?

(d) De quantas maneiras dez pessoas, entre elas Abel e Beto, podem ocupar
as mesmas vagas especificadas no item (c), se Abel não pode ocupar uma vaga
de cozinheiro e Beto não pode ocupar uma vaga de lavador de pratos?

Obrigado à todos!!




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csmarcelo
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Mai 2019 16 09:21

Re: Análise Combinatória

Mensagem não lida por csmarcelo »

Permutação circular não é a minha especialidade. Tem o gabarito?




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MateusQqMD
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Mai 2019 16 10:32

Re: Análise Combinatória

Mensagem não lida por MateusQqMD »

Eu vou começar a questão e qualquer coisa quando eu termino quando tiver mais tempo depois (se o Marcelo não terminar antes).

[tex3]\text{a)} \,[/tex3] Há [tex3]C_{10}^2 = 45[/tex3] modos de escolher duas pessoas para que uma sente-se no colo da outra. Há [tex3]2[/tex3] modos de determinar quem irá sentar no colo. Por fim, devemos formar uma roda com [tex3]8[/tex3] pessoas e um bloco constituído pelas duas pessoas em que uma delas está no colo da outra, isso pode ser feito de [tex3](PC)_{9} = (9-1) = 8![/tex3] modos.

Acredito que a resposta seja [tex3]45 \times 2 \times 8![/tex3]

[tex3]\text{b)} \,[/tex3] Inicialmente vamos dividir as [tex3]10[/tex3] pessoas em [tex3]5[/tex3] grupos de duas pessoas cada um. Isso pode ser feito de [tex3]\frac{C_{10}^{2} \cdot C_{8}^{2} \cdot C_{6}^{2} \cdot C_{4}^{2} \cdot C_{2}^{2} }{5!} = 945 [/tex3] modos. Além disso, cada grupo deve ser multiplicado por [tex3]2, \,[/tex3] a fim de considerar a ordem que duas pessoas vão ocupar em cada banco. Finalmente, multiplicar por [tex3]4![/tex3] permuta circularmente os [tex3]5[/tex3] grupos de duas pessoas.

A resposta é [tex3]945 \times 2^5 \times 4![/tex3]
Última edição: MateusQqMD (Qui 16 Mai, 2019 14:42). Total de 1 vez.
Razão: acrescentar o expoente do 2 no item b).


"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."

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MateusQqMD
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Re: Análise Combinatória

Mensagem não lida por MateusQqMD »

O item [tex3]\text{c)}[/tex3] é mais tranquilo. Para as vagas de garçom, têm-se [tex3]C_{10}^4 = 210[/tex3] modos de escolher quatro pessoas. Para as vagas de cozinheiro, haverá [tex3]C_6^3 = 20[/tex3] opções de escolha (não podemos escolher as pessoas que foram selecionadas para as vagas de garçom). Para as vagas de lavador de pratos, [tex3]C_{3}^2 = 3[/tex3] modos de escolha, de sorte que a vaga de carregador de lixo fica determinada: é da pessoa que não foi escolhida até agora!

A resposta é [tex3]210 \times 20 \times 3 \times 1 = 12600.[/tex3]


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FRhaziel
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Mai 2019 16 14:54

Re: Análise Combinatória

Mensagem não lida por FRhaziel »

Boa tarde, Infelizmente não tenho o gabarito, csmarcelo. E muito obrigado ao MateusQqMD pelos esclarecimentos, pois essa parte eu sempre tive muita dificuldades. Abraços aos dois!



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csmarcelo
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Mai 2019 16 14:57

Re: Análise Combinatória

Mensagem não lida por csmarcelo »

Não tinha reparado que nem todas as questões são de permutação circular. :mrgreen:

(d)

Acredito que a forma mais fácil de resolver seja pela diferença.

Colocando Abel como cozinheiro, teríamos [tex3]C^4_9\cdot C^{3-1}_5\cdot C^2_3\cdot C^1_1=3780[/tex3] formas de montar as equipes.
Colocando Beto como lavador de pratos, teríamos [tex3]C^4_9\cdot C^3_5\cdot C^{2-1}_2\cdot C^1_1=2520[/tex3] formas de montar as equipes.

No entanto, existem [tex3]C^4_8\cdot C^{3-1}_4\cdot C^{2-1}_2\cdot C^1_1=840[/tex3] formas de montar as equipes onde colocamos Abel como cozinheiro e Beto como lavador de pratos.

Assim, existem [tex3]3780+2520-840=5460[/tex3] formas de montar as equipes onde colocamos Abel como cozinheiro ou Beto como lavador de pratos.

Não colocar nem Abel como cozinheiro nem Beto como lavador de pratos é a diferença para o total de formas sem restrição alguma. Logo, existem [tex3]12600-5460=7140[/tex3] formas de montar as equipes com as restrições mencionadas.

Acredito que seja isso.




Movido de Pré-Vestibular para Ensino Médio em Qui 23 Mai, 2019 14:26 por ALDRIN

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