Física I ⇒ Proporção entre força resultante e aceleração Tópico resolvido

[legislacao]

Considerando um plano inclinado no qual a força de atrito seja a força resultante, temos a relação abaixo:

fat= m.a
fat= m. g.sen-Mi.g.cos

De acordo com a 2 lei de newton, aceleração e força resultante são diretamente proporcionais. Assim, seria correto dizer que a força de atrito é diretamente proporcional a gravidade, ao seno, ao coeficiente de atrito, e ao cosseno, já que eles todos são a aceleração?

[Planck]

Olá legislacao,

Nessa situação que você propôs, a afirmação feita é válida!

[legislacao]

Olá legislacao,

Nessa situação que você propôs, a afirmação feita é válida!

Muito obrigado! Depois de ler de novo esse tópico me surgiram 2 dúvidas:

1- Nesse caso a força de atrito não seria inversamente proporcional ao cosseno? Por exemplo, se o for o cosseno de 0, o mi, a massa e a gravidade serão multiplicados por 1, se for o cosseno de 60, o mi, a massa e a gravidade serão multiplicados por 1/2, o que dará um resultado menor.

2 - Ainda sobre as leis de newton, a 2 lei nos diz que :

- força resultante e aceleração são diretamente proporcionais
- aceleração e massa são inversamente proporcionais

Seguindo esse caminho, não seria correto dizer que a massa é inversamente proporcional a força resultante?

[Planck]

1- Nesse caso a força de atrito não seria inversamente proporcional ao cosseno? Por exemplo, se o for o cosseno de 0, o mi, a massa e a gravidade serão multiplicados por 1, se for o cosseno de 60, o mi, a massa e a gravidade serão multiplicados por 1/2, o que dará um resultado menor.

Isso prova que é diretamente proporcional. Do contrário, o valor do cosseno diminuiria e a força de atrito aumentaria.

Seguindo esse caminho, não seria correto dizer que a massa é inversamente proporcional a força resultante?

A questão é que a massa, pelo menos em análises não-relativísticas, é constante. No entanto, podemos fazer essa análise, matematicamente:

[tex3]F_r = m \cdot a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]F_r = m \cdot a[/tex3]

Com [tex3]a=cte[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a=cte[/tex3]

:

[tex3]\frac{F_r}{m} = a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{F_r}{m} = a[/tex3]

Note que é uma razão obtendo um resultado constante, ou seja, massa e força resultante são diretamente proporcionais.

[legislacao]

1- Nesse caso a força de atrito não seria inversamente proporcional ao cosseno? Por exemplo, se o for o cosseno de 0, o mi, a massa e a gravidade serão multiplicados por 1, se for o cosseno de 60, o mi, a massa e a gravidade serão multiplicados por 1/2, o que dará um resultado menor.

Isso prova que é diretamente proporcional. Do contrário, o valor do cosseno diminuiria e a força de atrito aumentaria.

Seguindo esse caminho, não seria correto dizer que a massa é inversamente proporcional a força resultante?

A questão é que a massa, pelo menos em análises não-relativísticas, é constante. No entanto, podemos fazer essa análise, matematicamente:

[tex3]F_r = m \cdot a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]F_r = m \cdot a[/tex3]

Com [tex3]a=cte[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a=cte[/tex3]

:

[tex3]\frac{F_r}{m} = a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{F_r}{m} = a[/tex3]

Note que é uma razão obtendo um resultado constante, ou seja, massa e força resultante são diretamente proporcionais.

Eu entendi a parte da massa, mas a outra parte eu ainda fiquei em dúvida.

"Isso prova que é diretamente proporcional. Do contrário, o valor do cosseno diminuiria e a força de atrito aumentaria." Vou tentar mostrar de onde sai a minha dúvida:

Considerando um angulo de 0 graus, e sabendo que cosseno de 0 é 1
fat= m. g.sen-Mi.g.cos
fat= m. g.sen-Mi.g.1

Considerando um angulo de 60 graus, e sabendo que o cosseno de 60 é 1/2:
fat= m. g.sen-Mi.g.cos
fat= m. g.sen-Mi.g.0,5

Ou seja, quando eu aumentei o angulo, a força de atrito foi diminuida. Assim, não seria correto dizer que a força de atrito é inversamente
proporcional ao angulo de inclinação?

[Planck]

Ou seja, quando eu aumentei o angulo, a força de atrito foi diminuida. Assim, não seria correto dizer que a força de atrito é inversamente
proporcional ao angulo de inclinação?

Nesse caso, faz sentido sim. Note que a proporcionalidade quanto ao cosseno do ângulo é diferente da proporcionalidade quanto ao ângulo.

[legislacao]

Ou seja, quando eu aumentei o angulo, a força de atrito foi diminuida. Assim, não seria correto dizer que a força de atrito é inversamente
proporcional ao angulo de inclinação?

Nesse caso, faz sentido sim. Note que a proporcionalidade quanto ao cosseno do ângulo é diferente da proporcionalidade quanto ao ângulo.

"Note que a proporcionalidade quanto ao cosseno do ângulo é diferente da proporcionalidade quanto ao ângulo."

Não consigo "aceitar" isso como verdade Digo isso porque ao alterar o angulo necessariamente o cosseno também será alterado...

Mas de qualquer forma, dizer que a força de atrito é inversamente proporcional ao cosseno não seria contrariar a 2 lei de newton? Pois a 2 lei de newton diz que força resultante é diretamente proporcional a aceleração, e se o cosseno está dentro da aceleração, haveria uma incoerência.

[legislacao]

Ou seja, quando eu aumentei o angulo, a força de atrito foi diminuida. Assim, não seria correto dizer que a força de atrito é inversamente
proporcional ao angulo de inclinação?

Nesse caso, faz sentido sim. Note que a proporcionalidade quanto ao cosseno do ângulo é diferente da proporcionalidade quanto ao ângulo.

Acho que agora entendi essa parte "Note que a proporcionalidade quanto ao cosseno do ângulo é diferente da proporcionalidade quanto ao ângulo."

A explicação pra isso é que quando aumentamos o angulo, aumentamos o seno, mas diminuímos o cosseno, certo? Por isso posso dizer que a força de atrito é inversamente proporcional ao cosseno, mas não posso dizer que ela é inversamente proporcional ao seno. Porém ainda tenho a dúvida abaixo:

Dizer que a força de atrito é inversamente proporcional ao cosseno não seria contrariar a 2 lei de newton? Pois a 2 lei de newton diz que força resultante é diretamente proporcional a aceleração, e se o cosseno está dentro da aceleração, haveria uma incoerência."

[Planck]

Ou seja, quando eu aumentei o angulo, a força de atrito foi diminuida. Assim, não seria correto dizer que a força de atrito é inversamente
proporcional ao angulo de inclinação?

Nesse caso, faz sentido sim. Note que a proporcionalidade quanto ao cosseno do ângulo é diferente da proporcionalidade quanto ao ângulo.

"Note que a proporcionalidade quanto ao cosseno do ângulo é diferente da proporcionalidade quanto ao ângulo."

Não consigo "aceitar" isso como verdade Digo isso porque ao alterar o angulo necessariamente o cosseno também será alterado...

Mas de qualquer forma, dizer que a força de atrito é inversamente proporcional ao cosseno não seria contrariar a 2 lei de newton? Pois a 2 lei de newton diz que força resultante é diretamente proporcional a aceleração, e se o cosseno está dentro da aceleração, haveria uma incoerência.

Revisando o tópico, notei um erro na fórmula. O correto seria:

[tex3]F_r = P_x - F_{at}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]F_r = P_x - F_{at}[/tex3]

Desenvolvendo os termos:

[tex3]F_r = P \cdot \sen \theta - \mu \cdot P \cdot \cos \theta[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]F_r = P \cdot \sen \theta - \mu \cdot P \cdot \cos \theta[/tex3]

[tex3]F_r = P \cdot( \sen \theta - \mu \cdot \cos \theta)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]F_r = P \cdot( \sen \theta - \mu \cdot \cos \theta)[/tex3]

[tex3]F_r = m \cdot g \cdot( \sen \theta - \mu \cdot \cos \theta)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]F_r = m \cdot g \cdot( \sen \theta - \mu \cdot \cos \theta)[/tex3]

Poderíamos obter que:

[tex3]a = g \cdot ( \sen \theta - \mu \cdot \cos \theta)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a = g \cdot ( \sen \theta - \mu \cdot \cos \theta)[/tex3]

Ou seja, a força resultante é diretamente proporcional à seguinte expressão:

[tex3]( \sen \theta - \mu \cdot \cos \theta)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]( \sen \theta - \mu \cdot \cos \theta)[/tex3]

Note que o valor de [tex3]\sen \theta[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen \theta[/tex3]

aumenta enquanto o de [tex3]\cos \theta[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos \theta[/tex3]

diminui. Analisando apenas a força de atrito:

[tex3]F_{at} = \mu \cdot m \cdot \cos \theta[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]F_{at} = \mu \cdot m \cdot \cos \theta[/tex3]

O valor da força de atrito é diretamente proporcional ao valor do cosseno do ângulo de inclinação. Se o ângulo aumenta, o valor do cosseno diminui e a força de atrito também.

[legislacao]

Ou seja, quando eu aumentei o angulo, a força de atrito foi diminuida. Assim, não seria correto dizer que a força de atrito é inversamente
proporcional ao angulo de inclinação?

Nesse caso, faz sentido sim. Note que a proporcionalidade quanto ao cosseno do ângulo é diferente da proporcionalidade quanto ao ângulo.

"Note que a proporcionalidade quanto ao cosseno do ângulo é diferente da proporcionalidade quanto ao ângulo."

Não consigo "aceitar" isso como verdade Digo isso porque ao alterar o angulo necessariamente o cosseno também será alterado...

Mas de qualquer forma, dizer que a força de atrito é inversamente proporcional ao cosseno não seria contrariar a 2 lei de newton? Pois a 2 lei de newton diz que força resultante é diretamente proporcional a aceleração, e se o cosseno está dentro da aceleração, haveria uma incoerência.

Revisando o tópico, notei um erro na fórmula. O correto seria:

[tex3]F_r = P_x - F_{at}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]F_r = P_x - F_{at}[/tex3]

Desenvolvendo os termos:

[tex3]F_r = P \cdot \sen \theta - \mu \cdot P \cdot \cos \theta[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]F_r = P \cdot \sen \theta - \mu \cdot P \cdot \cos \theta[/tex3]

[tex3]F_r = P \cdot( \sen \theta - \mu \cdot \cos \theta)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]F_r = P \cdot( \sen \theta - \mu \cdot \cos \theta)[/tex3]

[tex3]F_r = m \cdot g \cdot( \sen \theta - \mu \cdot \cos \theta)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]F_r = m \cdot g \cdot( \sen \theta - \mu \cdot \cos \theta)[/tex3]

Poderíamos obter que:

[tex3]a = g \cdot ( \sen \theta - \mu \cdot \cos \theta)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a = g \cdot ( \sen \theta - \mu \cdot \cos \theta)[/tex3]

Ou seja, a força resultante é diretamente proporcional à seguinte expressão:

[tex3]( \sen \theta - \mu \cdot \cos \theta)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]( \sen \theta - \mu \cdot \cos \theta)[/tex3]

Note que o valor de [tex3]\sen \theta[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen \theta[/tex3]

aumenta enquanto o de [tex3]\cos \theta[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos \theta[/tex3]

diminui. Analisando apenas a força de atrito:

[tex3]F_{at} = \mu \cdot m \cdot \cos \theta[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]F_{at} = \mu \cdot m \cdot \cos \theta[/tex3]

O valor da força de atrito é diretamente proporcional ao valor do cosseno do ângulo de inclinação. Se o ângulo aumenta, o valor do cosseno diminui e a força de atrito também.

Aah sim, acho que agora entendi. Eu fiz confusão com o significado de diretamente proporcional e fato de o angulo aumentar e o cosseno diminuir. Muito obrigado pela ajuda! Eu estava a mais ou menos 2 horas pensando numa questão simples como essa