Ensino Médio

Mensagem não lidapor **danimedrado** » 11 Mai 2019, 18:58

Um polinômio P(x) dividido por (x + 3) dá resto 15 e dividido por (x - 3) dá resto 7. Calcular o resto da divisão de P(x) por (x + 3) (x - 3).

Mensagem não lidapor **MateusQqMD** » 11 Mai 2019, 19:32 · Mensagem não lida por **MateusQqMD** » 11 Mai 2019, 19:32

E aí, Dani. Vamos desenvolver isso aí e qualquer dúvida você manda aqui.

Do enunciado, temos que:

[tex3]\begin{cases}
p(X) = q(X)\cdot (x+3) + 15 \,\,\, \overset{x \, = \, -3}{\implies} \,\,\, p(-3) = 15 \quad (1) \\
p(X) = g(X)\cdot (x-3) + 7 \,\,\, \overset{x \, = \, 3}{\implies} \,\,\, p(3) = 7\quad (2)
\end{cases}[/tex3]

Queremos calcular o resto de [tex3]p(X)[/tex3] dividido por [tex3](X + 3) (X - 3).[/tex3] Sendo [tex3]h(X)[/tex3] o quociente dessa divisão, vem:

[tex3]p(X) = h(X)(X + 3) (X - 3) + r(X), \,[/tex3] em que [tex3]r(X) = aX + b[/tex3] pois o grau do resto é sempre menor que o grau do divisor.

Daí,

[tex3]\text{I)} \,\, [/tex3] Para [tex3]x = -3:[/tex3]

[tex3]p(X) = h(X)(X + 3) (X - 3) + aX + b[/tex3]

[tex3]p(-3) = h(-3)(-3 + 3) (-3 - 3) + a(-3) + b[/tex3]

[tex3]p(-3) = -3a + b \implies -3a + b = 15[/tex3]

[tex3]\text{II)} \,\, [/tex3] Para [tex3]x = 3:[/tex3]

[tex3]p(X) = h(X)(X + 3) (X - 3) + aX + b[/tex3]

[tex3]p(3) = h(3)(3 + 3) (3 - 3) + a(3) + b[/tex3]

[tex3]p(3) = 3a + b \implies 3a + b = 7[/tex3]

Isto é,

[tex3]\begin{cases}
-3a + b = 15 \\
3a + b = 7
\end{cases}[/tex3]

Resolvendo o sistema, tem-se [tex3]a = \frac{-4}{3}[/tex3] e [tex3]b = 11 [/tex3]

Logo, [tex3]r(X) = \frac{-4}{3}X + 11 [/tex3]

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