Ensino Médio

Mensagem não lidapor **danimedrado** » 06 Mai 2019, 22:55

Considere as proposições seguintes, nas quais m e n são números inteiros e positivos.
I. A soma de dois polinômios de grau m é um polinômio de grau m.
II. O produto de dois polinômios de grau m é um polinômio de grau 2m.
III. Se m [tex3]\geq [/tex3] n, o quociente da divisão de um polinômio de grau m por um polinômio de grau n é um polinômio de grau m - n.

É correto afirmar que APENAS:

a) I é verdadeira.
b) II é verdadeira.
c) I e II são verdadeiras.
d) I e III são verdadeiras.
e) II e III são verdadeiras.

Mensagem não lidapor **MateusQqMD** » 06 Mai 2019, 23:24 · Mensagem não lida por **MateusQqMD** » 06 Mai 2019, 23:24

E aí, Dani. Eu por aqui de novo. Vamos analisar esses itens aí.

[tex3]\text{a)} \quad[/tex3] É suficiente um contraexemplo para mostrar que nem sempre esse item é verdadeiro:

[tex3]f(X) = X^m[/tex3]

[tex3]g(X) = -X^m + 1[/tex3]

Daí,

[tex3]f(X) + g(X) = 1[/tex3]

Logo, o item está falso.

[tex3]\text{b)} \quad[/tex3] Esse item é verdadeiro. Note que podemos fazer:

[tex3]f(X) = a_nX^m + a_{n-1} X^{m-1} + ... + a_0[/tex3]

e

[tex3]g(X) = b_nX^m + b_{n-1} X^{m-1} + ... + b_0[/tex3]

Note que o grau de [tex3]f(X) \cdot g(X)[/tex3] sempre é dado a partir do produto dos termos [tex3]a_nX^m[/tex3] e [tex3]b_nX^m,[/tex3] isto é, [tex3]a_nX^m \cdot b_nX^m \,\,\, \implies \,\,\, a_nb_n\cdot X^{2m}[/tex3]

[tex3]\text{c)} \quad[/tex3] Esse item também é verdadeiro, e sua confirmação vem a partir da definição:

Dados [tex3]f(X)[/tex3] (dividendo) e [tex3]g(X)[/tex3] (divisor), dividir [tex3]f(X)[/tex3] por [tex3]g(X)[/tex3] é determinar um quociente ([tex3]q(X)[/tex3] ) e um resto ([tex3]r(X)[/tex3] ) tal que:

[tex3]f(X) = g(X)\cdot q(X) + r(X)[/tex3]

Como o grau do resto é sempre menor que o grau [tex3](\partial)[/tex3] do quociente, temos que:

[tex3]\partial f = \partial g + \partial q[/tex3]

Logo,

[tex3]\partial q = \partial f - \partial g[/tex3]

[tex3]\partial q = m - n[/tex3]

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