IME / ITA(Nível IME/ITA) Geometria Plana

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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Flavio2020
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(Nível IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por Flavio2020 »

Se I é o incentro do triângulo equilátero ABC.Que parte é a área da região sombreada da região triangular ABC.
005.PNG
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a)1/2
b)1/3
c)1/4
d)2/3
e)3/4
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b




guila100
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Re: (Nível IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por guila100 »

trace as 3 bissetrizes e você vai perceber que a região do meio completa elas pronto


ai ela forma 6 áreas iguais mas á area preenchida equivale a 2S1 logo

a área da região equivale a [tex3]\frac{2}{6}= 1/3[/tex3]
005 (1).PNG
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Última edição: guila100 (Sáb 04 Mai, 2019 20:09). Total de 2 vezes.



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joaopcarv
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Re: (Nível IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por joaopcarv »

Eu não estou conseguindo fazer um anexo bom, mas enfim, vou detalhar tudo por escrito... vamos começar nomeando os pontos:

[tex3]\mathsf{\hookrightarrow \ M}[/tex3] é o ponto médio do segmento [tex3]\mathsf{\overline{AC}}[/tex3] ;
[tex3]\mathsf{\hookrightarrow \ A_1}[/tex3] é o ponto de intersecção da circunferência centrada em [tex3]\mathsf{A}[/tex3] com o lado [tex3]\mathsf{\overline{AB}}[/tex3] , enquanto que [tex3]\mathsf{A_2}[/tex3] é a intersecção dessa mesma circunferência com o lado [tex3]\mathsf{\overline{AC}}[/tex3] . [tex3]\mathsf{A_1AA_2}[/tex3] é um setor circular centrado em [tex3]\mathsf{A}[/tex3] de ângulo [tex3]\mathsf{\dfrac{\pi}{3}}[/tex3] ;
[tex3]\mathsf{\hookrightarrow \ C_1}[/tex3] é o ponto de intersecção da circunferência centrada em [tex3]\mathsf{C}[/tex3] com o lado [tex3]\mathsf{\overline{BC}}[/tex3] , enquanto que [tex3]\mathsf{C_2}[/tex3] é a intersecção dessa mesma circunferência com o lado [tex3]\mathsf{\overline{AC}}[/tex3] . [tex3]\mathsf{C_1CC_2}[/tex3] é um setor circular centrado em [tex3]\mathsf{C}[/tex3] de ângulo [tex3]\mathsf{\dfrac{\pi}{3}}[/tex3] .

Seja [tex3]\mathsf{l}[/tex3] o lado do triângulo equilátero [tex3]\mathsf{\triangle ABC}[/tex3] .

Pela propriedade do incentro do triângulo equilátero, temos que [tex3]\mathsf{\overline{AI}}[/tex3] bissecta o ângulo de [tex3]\mathsf{\dfrac{\pi}{3}}[/tex3] , logo [tex3]\mathsf{\measuredangle{IAA_2} \ = \ \dfrac{\pi}{6}}[/tex3] , e o mesmo vale para [tex3]\mathsf{\measuredangle{ICC_2}}[/tex3] , pela simetria.
Logo, o raio desses setores circulares iguais / simétricos podem ser calculados pelos triângulos retângulos [tex3]\mathsf{\triangle AIM \ | \ \triangle CIM}[/tex3] :

[tex3]\mathsf{R \ = \ \overline{AA_1} \ = \ \overline{AA_2} \ = \ \overline{CC_1} \ = \ \overline{CC_2} \ = \ \dfrac{\frac{l}{2}}{cos(30^\circ)}}[/tex3]

[tex3]\boxed{\mathsf{R \ = \ \dfrac{l}{\sqrt{3}}}}[/tex3]

Perceba que podemos dividir a área [tex3]\mathsf{A_2IC_2}[/tex3] em duas iguais, pela simetria: [tex3]\mathsf{A_2IM \ + \ C_2IM}[/tex3] . Vamos então focar em apenas um dos lados, já que o outro é simétrico, e depois é só multiplicar por [tex3]\mathsf{2}[/tex3] .

Temos então: [tex3]\mathsf{S_{A_2IM} \ = \ \underbrace{S_{IAA_2}}_{setor \ circular \ de \ \frac{\pi}{6}} \ - \ \underbrace{S_{IAM}}_{triângulo \ retângulo}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{S_{A_2IM} \ = \ R^2\cdot \dfrac{\pi}{6} \cdot \dfrac{1}{2} \ - \ R \cdot \dfrac{l}{2} \cdot \sen\bigg({\frac{\pi}{6}}\bigg) \cdot \dfrac{1}{2}}[/tex3] , para [tex3]\mathsf{R \ = \ \dfrac{l}{\sqrt{3}}}[/tex3] , temos:

[tex3]\boxed{\mathsf{S_{A_2IM} \ = \ \dfrac{\pi \cdot l^2}{36} \ - \ \dfrac{l^2\cdot \sqrt{3}}{24}}}[/tex3] , e, portanto, a área acinzentada inferior [tex3]\boxed{\mathsf{S_{A_2IC_2} \ = \ \dfrac{\pi \cdot l^2}{18} \ - \ \dfrac{l^2\cdot \sqrt{3}}{12}}}[/tex3] .

Agora, temos que [tex3]\mathsf{S_{CC_1IC_2} \ = \ S_{C_1CC_2} \ - \ S_{A_2IC_2}}[/tex3] . Assim, a área total inferior (abaixo da acinzentada maior) é:

[tex3]\mathsf{S_{AA_1IC_2C} \ = \ S_{A_1AA_2} \ + \ S_{CC_1IC_2}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{S_{AA_1IC_2C} \ = \ \underbrace{S_{A_1AA_2} \ + \ S_{C_1CC_2}}_{iguais} \ - \ S_{A_2IC_2}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{S_{AA_1IC_2C} \ = \ 2\cdot R^2\cdot \dfrac{\pi}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \ - \ \bigg(\dfrac{\pi \cdot l^2}{18} \ - \ \dfrac{l^2\cdot \sqrt{3}}{12}\bigg)}[/tex3]

[tex3]\boxed{\mathsf{S_{AA_1IC_2C} \ = \ \dfrac{\pi \cdot l^2}{18} \ + \ \dfrac{l^2\cdot \sqrt{3}}{12}}}[/tex3]

Portanto, [tex3]\mathsf{S_{AA_1IC_2C} \ + \ \underbrace{S_{BA_1IC_1}}_{área \ acinzentada \ superior} \ = \ S_{\triangle ABC}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\dfrac{\pi \cdot l^2}{18} \ + \ \dfrac{l^2\cdot \sqrt{3}}{12} \ + \ S_{BA_1IC_1} \ = \ \dfrac{l^2\cdot \sqrt{3}}{4}}[/tex3]

[tex3]\boxed{\mathsf{S_{BA_1IC_1} \ = \ \dfrac{l^2\cdot \sqrt{3}}{6} \ - \ \dfrac{\pi \cdot l^2}{18}}} \ \Rrightarrow[/tex3] Área acinzentada superior.

Logo, a soma das áreas acinzentadas é: [tex3]\mathsf{S_{cinza} \ = \ S_{A_2IC_2} \ + \ S_{BA_1IC_1}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\mathsf{S_{cinza} \ = \ \cancel{\dfrac{\pi \cdot l^2}{18}} \ - \ \dfrac{l^2\cdot \sqrt{3}}{12} \ + \ \dfrac{l^2\cdot \sqrt{3}}{6} \ \cancel{- \ \dfrac{\pi \cdot l^2}{18}}}}[/tex3]

[tex3]\boxed{\mathsf{S_{cinza} \ = \ \dfrac{l^2\cdot \sqrt{3}}{12}}}[/tex3]

Por fim, a razão pedida é: [tex3]\mathsf{\dfrac{S_{cinza}}{S_{\triangle ABC}}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{= \ \dfrac{\frac{l^2\cdot \sqrt{3}}{12}}{\frac{l^2\cdot \sqrt{3}}{4}} \ = \boxed{\boxed{\mathsf{\dfrac{1}{3}}}}}[/tex3] .
Última edição: joaopcarv (Sáb 04 Mai, 2019 20:18). Total de 1 vez.


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Re: (Nível IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por joaopcarv »

guila100 escreveu:
Sáb 04 Mai, 2019 20:08
trace as 3 bissetrizes e você vai perceber que a região do meio completa elas pronto


ai ela forma 6 áreas iguais mas á area preenchida equivale a 2S1 logo

a área da região equivale a [tex3]\frac{2}{6}= 1/3[/tex3] 005 (1).PNG
Desculpe, eu não tinha visto que você tinha respondido até postar :)


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guila100
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Re: (Nível IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por guila100 »

joaopcarv escreveu:
Sáb 04 Mai, 2019 20:17
guila100 escreveu:
Sáb 04 Mai, 2019 20:08
trace as 3 bissetrizes e você vai perceber que a região do meio completa elas pronto


ai ela forma 6 áreas iguais mas á area preenchida equivale a 2S1 logo

a área da região equivale a [tex3]\frac{2}{6}= 1/3[/tex3] 005 (1).PNG
Desculpe, eu não tinha visto que você tinha respondido até postar :)
da nada mano kk

tem vários jeitos de resolver o mesmo tipo de questão quanto mais melhor



guila100
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Re: (Nível IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por guila100 »

esse tipo de questão cai direto nas questões das universidades do peru UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN UNJBG CEPU UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA-MATEMÁTICAS deem uma olhada la que os cara tem umas provinhas da hora até




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