Mensagem não lida por joaopcarv » Sáb 04 Mai, 2019 20:16
Mensagem não lida
por joaopcarv » Sáb 04 Mai, 2019 20:16
Eu não estou conseguindo fazer um anexo bom, mas enfim, vou detalhar tudo por escrito... vamos começar nomeando os pontos:
[tex3]\mathsf{\hookrightarrow \ M}[/tex3]
é o ponto médio do segmento [tex3]\mathsf{\overline{AC}}[/tex3]
;
[tex3]\mathsf{\hookrightarrow \ A_1}[/tex3]
é o ponto de intersecção da circunferência centrada em [tex3]\mathsf{A}[/tex3]
com o lado [tex3]\mathsf{\overline{AB}}[/tex3]
, enquanto que [tex3]\mathsf{A_2}[/tex3]
é a intersecção dessa mesma circunferência com o lado [tex3]\mathsf{\overline{AC}}[/tex3]
. [tex3]\mathsf{A_1AA_2}[/tex3]
é um setor circular centrado em [tex3]\mathsf{A}[/tex3]
de ângulo [tex3]\mathsf{\dfrac{\pi}{3}}[/tex3]
;
[tex3]\mathsf{\hookrightarrow \ C_1}[/tex3]
é o ponto de intersecção da circunferência centrada em [tex3]\mathsf{C}[/tex3]
com o lado [tex3]\mathsf{\overline{BC}}[/tex3]
, enquanto que [tex3]\mathsf{C_2}[/tex3]
é a intersecção dessa mesma circunferência com o lado [tex3]\mathsf{\overline{AC}}[/tex3]
. [tex3]\mathsf{C_1CC_2}[/tex3]
é um setor circular centrado em [tex3]\mathsf{C}[/tex3]
de ângulo [tex3]\mathsf{\dfrac{\pi}{3}}[/tex3]
.
Seja [tex3]\mathsf{l}[/tex3]
o lado do triângulo equilátero [tex3]\mathsf{\triangle ABC}[/tex3]
.
Pela propriedade do incentro do triângulo equilátero, temos que [tex3]\mathsf{\overline{AI}}[/tex3]
bissecta o ângulo de [tex3]\mathsf{\dfrac{\pi}{3}}[/tex3]
, logo [tex3]\mathsf{\measuredangle{IAA_2} \ = \ \dfrac{\pi}{6}}[/tex3]
, e o mesmo vale para [tex3]\mathsf{\measuredangle{ICC_2}}[/tex3]
, pela simetria.
Logo, o raio desses setores circulares iguais / simétricos podem ser calculados pelos triângulos retângulos [tex3]\mathsf{\triangle AIM \ | \ \triangle CIM}[/tex3]
:
[tex3]\mathsf{R \ = \ \overline{AA_1} \ = \ \overline{AA_2} \ = \ \overline{CC_1} \ = \ \overline{CC_2} \ = \ \dfrac{\frac{l}{2}}{cos(30^\circ)}}[/tex3]
[tex3]\boxed{\mathsf{R \ = \ \dfrac{l}{\sqrt{3}}}}[/tex3]
Perceba que podemos dividir a área [tex3]\mathsf{A_2IC_2}[/tex3]
em duas iguais, pela simetria: [tex3]\mathsf{A_2IM \ + \ C_2IM}[/tex3]
. Vamos então focar em apenas um dos lados, já que o outro é simétrico, e depois é só multiplicar por [tex3]\mathsf{2}[/tex3]
.
Temos então: [tex3]\mathsf{S_{A_2IM} \ = \ \underbrace{S_{IAA_2}}_{setor \ circular \ de \ \frac{\pi}{6}} \ - \ \underbrace{S_{IAM}}_{triângulo \ retângulo}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{S_{A_2IM} \ = \ R^2\cdot \dfrac{\pi}{6} \cdot \dfrac{1}{2} \ - \ R \cdot \dfrac{l}{2} \cdot \sen\bigg({\frac{\pi}{6}}\bigg) \cdot \dfrac{1}{2}}[/tex3]
, para [tex3]\mathsf{R \ = \ \dfrac{l}{\sqrt{3}}}[/tex3]
, temos:
[tex3]\boxed{\mathsf{S_{A_2IM} \ = \ \dfrac{\pi \cdot l^2}{36} \ - \ \dfrac{l^2\cdot \sqrt{3}}{24}}}[/tex3]
, e, portanto, a área acinzentada inferior [tex3]\boxed{\mathsf{S_{A_2IC_2} \ = \ \dfrac{\pi \cdot l^2}{18} \ - \ \dfrac{l^2\cdot \sqrt{3}}{12}}}[/tex3]
.
Agora, temos que [tex3]\mathsf{S_{CC_1IC_2} \ = \ S_{C_1CC_2} \ - \ S_{A_2IC_2}}[/tex3]
. Assim, a área total inferior (abaixo da acinzentada maior) é:
[tex3]\mathsf{S_{AA_1IC_2C} \ = \ S_{A_1AA_2} \ + \ S_{CC_1IC_2}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{S_{AA_1IC_2C} \ = \ \underbrace{S_{A_1AA_2} \ + \ S_{C_1CC_2}}_{iguais} \ - \ S_{A_2IC_2}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{S_{AA_1IC_2C} \ = \ 2\cdot R^2\cdot \dfrac{\pi}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \ - \ \bigg(\dfrac{\pi \cdot l^2}{18} \ - \ \dfrac{l^2\cdot \sqrt{3}}{12}\bigg)}[/tex3]
[tex3]\boxed{\mathsf{S_{AA_1IC_2C} \ = \ \dfrac{\pi \cdot l^2}{18} \ + \ \dfrac{l^2\cdot \sqrt{3}}{12}}}[/tex3]
Portanto, [tex3]\mathsf{S_{AA_1IC_2C} \ + \ \underbrace{S_{BA_1IC_1}}_{área \ acinzentada \ superior} \ = \ S_{\triangle ABC}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\dfrac{\pi \cdot l^2}{18} \ + \ \dfrac{l^2\cdot \sqrt{3}}{12} \ + \ S_{BA_1IC_1} \ = \ \dfrac{l^2\cdot \sqrt{3}}{4}}[/tex3]
[tex3]\boxed{\mathsf{S_{BA_1IC_1} \ = \ \dfrac{l^2\cdot \sqrt{3}}{6} \ - \ \dfrac{\pi \cdot l^2}{18}}} \ \Rrightarrow[/tex3]
Área acinzentada superior.
Logo, a soma das áreas acinzentadas é: [tex3]\mathsf{S_{cinza} \ = \ S_{A_2IC_2} \ + \ S_{BA_1IC_1}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\mathsf{S_{cinza} \ = \ \cancel{\dfrac{\pi \cdot l^2}{18}} \ - \ \dfrac{l^2\cdot \sqrt{3}}{12} \ + \ \dfrac{l^2\cdot \sqrt{3}}{6} \ \cancel{- \ \dfrac{\pi \cdot l^2}{18}}}}[/tex3]
[tex3]\boxed{\mathsf{S_{cinza} \ = \ \dfrac{l^2\cdot \sqrt{3}}{12}}}[/tex3]
Por fim, a razão pedida é: [tex3]\mathsf{\dfrac{S_{cinza}}{S_{\triangle ABC}}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{= \ \dfrac{\frac{l^2\cdot \sqrt{3}}{12}}{\frac{l^2\cdot \sqrt{3}}{4}} \ = \boxed{\boxed{\mathsf{\dfrac{1}{3}}}}}[/tex3]
.
Última edição:
joaopcarv (Sáb 04 Mai, 2019 20:18). Total de 1 vez.
That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all.
"Last year's wishes are this year's apologies... Every last time I come home (...)"
Poli-USP