Preciso de ajuda, não faço ideia como montar essa equação e desenvolvela”- com derivadas.
Areia cai de uma esteira transportadora a uma taxa de 10 m3/min no topo de um monte cônico circular reto (𝑉 = 𝜋𝑅2h/3). A altura do monte tem três oitavos do diâmetro da base. Pede-se calcular (indicando as unidades nas respostas), quando o monte tiver 4 metros de altura: (a) a taxa de variação do raio da base; (b) a taxa de variação da altura.
Respostas:
(a) 15/(32 π) m/min (b) 45/(128 π) m/min
Se alguem soube em qual livro tem exercícios similares como esse, agradeceria!
Ensino Superior ⇒ Taxas de Variação Tópico resolvido
- pitbichapet
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Abr 2019
25
04:02
Taxas de Variação
Editado pela última vez por caju em 25 Abr 2019, 10:44, em um total de 1 vez.
Razão: arrumar título (regra 4).
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- joaopcarv
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Abr 2019
25
17:26
Re: Taxas de Variação
O esquema desse tipo de exercício é relativamente simples, buscaremos vínculos entre as grandezas e derivaremos implicitamente, geralmente no tempo (taxas temporais).
No exercício:
[tex3]\mathsf{V \ = \ \dfrac{\pi \cdot R^2 \cdot h}{3}}[/tex3] , sendo [tex3]\mathsf{h \ = \ \dfrac{3}{8} \cdot 2\cdot R \ \rightarrow\ V \ = \ \dfrac{\pi \cdot R^2 \cdot \overbrace{h}^{\frac{3 \cdot R}{4}}}{3} \ \therefore \ V \ = \ \dfrac{\pi \cdot R^3}{4}}[/tex3]
Relacionando as taxas pelo vínculo:
[tex3]\mathsf{\dfrac{dV(t)}{dt}\ = \ \dfrac{d \frac{\pi \cdot R^3(t)}{4}}{dt}}[/tex3]
(Omitirei as unidades só para deixar mais legível)
[tex3]\mathsf{\dfrac{dV(t)}{dt} \ = \ \dfrac{\pi}{4} \ \cdot \dfrac{dR^3 (t)}{dt}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\dfrac{dV(t)}{dt} \ = \ \dfrac{\pi}{4} \ \cdot 3\cdot R^2(t) \cdot \dfrac{d R(t)}{dt}}[/tex3]
Considerando o instante de referência [tex3]\mathsf{t_0}[/tex3] , tem-se: [tex3]\mathsf{h(t_{0}) \ = \ \underbrace{4 \ m}_{= \frac{3 \cdot R(t_0)}{4}} \ \rightarrow \ R(t_{0}) \ = \ \dfrac{16}{3} \ m}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\dfrac{dV(t_0)}{dt} \ = \ \dfrac{\pi}{4} \ \cdot 3\cdot R^2(t_0) \cdot \dfrac{d R(t_0)}{dt}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{10 \ = \ \dfrac{\pi}{4} \ \cdot 3 \cdot \dfrac{256}{9} \ \cdot \dfrac{d R(t_0)}{dt} \ \rightarrow \ \boxed{\boxed{\mathsf{\dfrac{dR(t_0)}{dt} \ = \ \dfrac{15}{32 \cdot \pi} \ \dfrac{m}{min}}}}}[/tex3]
Pela relação entre altura e raio:
[tex3]\mathsf{h(t_0) \ = \ \dfrac{3\cdot \ R(t_0)}{4} \ \rightarrow \ \dfrac{dh(t_0)}{dt} \ = \ \dfrac{3}{4} \cdot \cancelto{\dfrac{15}{32 \cdot \pi}}{\dfrac{dR(t_0)}{dt}}}[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{\dfrac{dh(t_0)}{dt} \ = \ \dfrac{45}{128 \cdot \pi} \ \dfrac{m}{min}}}}[/tex3]
No exercício:
[tex3]\mathsf{V \ = \ \dfrac{\pi \cdot R^2 \cdot h}{3}}[/tex3] , sendo [tex3]\mathsf{h \ = \ \dfrac{3}{8} \cdot 2\cdot R \ \rightarrow\ V \ = \ \dfrac{\pi \cdot R^2 \cdot \overbrace{h}^{\frac{3 \cdot R}{4}}}{3} \ \therefore \ V \ = \ \dfrac{\pi \cdot R^3}{4}}[/tex3]
Relacionando as taxas pelo vínculo:
[tex3]\mathsf{\dfrac{dV(t)}{dt}\ = \ \dfrac{d \frac{\pi \cdot R^3(t)}{4}}{dt}}[/tex3]
(Omitirei as unidades só para deixar mais legível)
[tex3]\mathsf{\dfrac{dV(t)}{dt} \ = \ \dfrac{\pi}{4} \ \cdot \dfrac{dR^3 (t)}{dt}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\dfrac{dV(t)}{dt} \ = \ \dfrac{\pi}{4} \ \cdot 3\cdot R^2(t) \cdot \dfrac{d R(t)}{dt}}[/tex3]
Considerando o instante de referência [tex3]\mathsf{t_0}[/tex3] , tem-se: [tex3]\mathsf{h(t_{0}) \ = \ \underbrace{4 \ m}_{= \frac{3 \cdot R(t_0)}{4}} \ \rightarrow \ R(t_{0}) \ = \ \dfrac{16}{3} \ m}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\dfrac{dV(t_0)}{dt} \ = \ \dfrac{\pi}{4} \ \cdot 3\cdot R^2(t_0) \cdot \dfrac{d R(t_0)}{dt}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{10 \ = \ \dfrac{\pi}{4} \ \cdot 3 \cdot \dfrac{256}{9} \ \cdot \dfrac{d R(t_0)}{dt} \ \rightarrow \ \boxed{\boxed{\mathsf{\dfrac{dR(t_0)}{dt} \ = \ \dfrac{15}{32 \cdot \pi} \ \dfrac{m}{min}}}}}[/tex3]
Pela relação entre altura e raio:
[tex3]\mathsf{h(t_0) \ = \ \dfrac{3\cdot \ R(t_0)}{4} \ \rightarrow \ \dfrac{dh(t_0)}{dt} \ = \ \dfrac{3}{4} \cdot \cancelto{\dfrac{15}{32 \cdot \pi}}{\dfrac{dR(t_0)}{dt}}}[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{\dfrac{dh(t_0)}{dt} \ = \ \dfrac{45}{128 \cdot \pi} \ \dfrac{m}{min}}}}[/tex3]
Editado pela última vez por joaopcarv em 25 Abr 2019, 17:28, em um total de 1 vez.
That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all.
"Last year's wishes are this year's apologies... Every last time I come home (...)"
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Abr 2019
25
17:30
Re: Taxas de Variação
E sobre os exercícios, se quiser, eu posso te mandar os da lista que eu uso no cálculo 1
That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all.
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- pitbichapet
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Abr 2019
27
04:04
Re: Taxas de Variação
Claro quero sim por favor, e se tiver também de otimização séria ótimo!
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