Ensino MédioProgressão Artimética Tópico resolvido

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

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LostWalker
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Progressão Artimética

Mensagem não lida por LostWalker »

"Tava eu lá entediado estudando e para compartilhar minha doce apatia, criei um exercício. Estava verificando se eu havia compreendido bem o assunto (que estava aprendendo), conferi os cálculos e o grau de dificuldade é mediano para não tomar tanto tempo, porém os conceitos são abordados em nível ITA/IME então achei que seria legal deixar aqui"


Considerando a P.A.:
[tex3](7,22,45,76,115,...,a_n)[/tex3]

Qual o valor de [tex3]a_n[/tex3] ?
Resposta

[tex3]a_n=4n^2+3n[/tex3]

Última edição: LostWalker (Ter 16 Abr, 2019 20:14). Total de 1 vez.


"[...] Mas essa é a graça dos encontros e desencontros: a Coincidência e o Destino. Se pudesse resumir, diria: A causalidade é a Ironia do Universo."
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MateusQqMD
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Re: Progressão Artimética

Mensagem não lida por MateusQqMD »

Olá. É uma PA de segunda ordem. To sem tempo, mas as ideias são as mesmas

viewtopic.php?t=30666



"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."

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Planck
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Re: Progressão Artimética

Mensagem não lida por Planck »

MateusQqMD escreveu:
Ter 16 Abr, 2019 21:34
Olá. É uma PA de segunda ordem. To sem tempo, mas as ideias são as mesmas

viewtopic.php?t=30666
Utilizando o que foi dito pelo MateusQqMD,

Podemos fazer:

[tex3]a_1=7[/tex3]

[tex3]a_2 =7+7 \cdot 2+1\Rightarrow1+7\cdot(1+2)[/tex3]

[tex3]a_3 =7+7 \cdot 2 +1+7 \cdot 3+2 \Rightarrow 1+2 + 7\cdot(1+2+3)[/tex3]

[tex3]a_4 =7+7 \cdot 2 +1+7 \cdot 3+2+7\cdot 4 +3 \Rightarrow 1+2+3+7 \cdot(1+2+3+4)[/tex3]

[tex3]a_5=7+7 \cdot 2 +1+7 \cdot 3+2+7\cdot 4 +3+7\cdot 5+4 \Rightarrow 1+2+3+4+7\cdot(1+2+3+4+5)[/tex3]

[tex3]\vdots[/tex3]

[tex3]a_n=1+2+\dots+(n-1)+ 7 \cdot (1+2+\dots+n)[/tex3]

Podemos aplicar a soma dos infinitos termos:

[tex3]a_n=\frac{[1+(n-1)] \cdot (n-1)}{2}+ 7\cdot\frac{(1+n) \cdot n}{2} [/tex3]

Multiplicando todos os termos por [tex3]2:[/tex3]

[tex3]2\cdot a_n=[1+(n-1)] \cdot (n-1)+ 7\cdot(1+n) \cdot n [/tex3]

[tex3]2\cdot a_n=(n) \cdot (n-1)+ 7\cdot(1+n) \cdot n [/tex3]

[tex3]2\cdot a_n=n^2 -n + 7\cdot(n+n^2) [/tex3]

[tex3]2\cdot a_n=n^2 -n + 7n+7n^2 [/tex3]

[tex3]2\cdot a_n=8n^2 + 6n [/tex3]

[tex3]\boxed{a_n=4n^2 + 3n}[/tex3]



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Re: Progressão Artimética

Mensagem não lida por LostWalker »

Boa pessoal, amanhã eu vou aproveitar e explicar duas formas de responder esse tipo de Exercício. (Isso é, se eu entendi direito a matéria XD)
Última edição: LostWalker (Ter 16 Abr, 2019 23:15). Total de 1 vez.


"[...] Mas essa é a graça dos encontros e desencontros: a Coincidência e o Destino. Se pudesse resumir, diria: A causalidade é a Ironia do Universo."
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Re: Progressão Artimética

Mensagem não lida por LostWalker »

Começando pelos Termos de Interpretação:

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Uma P.A. de Ordem [tex3]0[/tex3] é sempre constante:
[tex3](\,\,\,a\,\,\,,\,\,\,a\,\,\,,\,\,\,a\,\,\,,\,\,\,a\,\,\,,\,\,\,a\,\,\,,\,\,\,...\,\,\,)[/tex3]

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Uma P.A. de Ordem [tex3]1[/tex3] , possui uma soma constante, na qual:
[tex3](a\,\,\,,\,\,\,a+r\,\,\,,\,\,\,a+2r\,\,\,,\,\,\, a+3r\,\,\,,\,\,\,a+4r\,\,\,,\,\,\,...\,\,\,)[/tex3]

Costumeiramente escrevemos que a notação de um termo é
[tex3]a_n=a_1+(n-1).r[/tex3]

Note a semelhança da mesma com uma função afim:
[tex3]{\color{YellowOrange}a_n}={\color{Red}a_1}+{\color{MidNightBlue}(n-1)}{\color{OliveGreen}r}[/tex3]
[tex3]{\color{YellowOrange}y}={\color{OliveGreen}a}{\color{MidNightBlue}x}+{\color{Red}b}[/tex3]

Como usamos o [tex3]a_1[/tex3] de parâmetro na P.A., devemos subtrair-lo em [tex3](n-1)[/tex3] para que seja constante, muitos devem conhecer a fórmula [tex3]a_n=a_j+(n-j).r[/tex3] , que nos diz isso de outra forma


Ademais, não começamos uma P.A. pelo termo [tex3]a_0[/tex3] , de mesmo modo, a função nunca começa com [tex3]n=0[/tex3] , mas podemos dizer que ela seria escrita deste modo:

[tex3]{\color{YellowOrange}a_n}={\color{OliveGreen}\alpha}{\color{MidNightBlue}n}+{\color{Red}\beta} [/tex3]


Logo, a P.A. de Ordem [tex3]1[/tex3] é escrita por uma Função de Grau [tex3]1[/tex3]

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Imagino que já tenha sido possível racionar que a P.A. de Ordem 2 utiliza uma Função de Grau [tex3]2[/tex3] , logo, podemos dizer que ela pode ser escrita assim:

[tex3]{\color{YellowOrange}y}={\color{OliveGreen}a}{\color{MidNightBlue}x^2}+{\color{Red}b}{\color{MidNightBlue}x}+{\color{SkyBlue}c}[/tex3]
[tex3]{\color{YellowOrange}a_n}={\color{OliveGreen}\alpha}{\color{MidNightBlue}n^2}+{\color{Red}\beta}{\color{MidNightBlue}n} +{\color{SkyBlue}\gamma} [/tex3]


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Por tédio, aqui está um P.A. de Grau 3:

[tex3]{\color{YellowOrange}y}={\color{OliveGreen}a}{\color{MidNightBlue}x^3}+{\color{Red}b}{\color{MidNightBlue}x^2}+{\color{SkyBlue}c}{\color{MidNightBlue}x}+{\color{Magenta}d}[/tex3]
[tex3]{\color{YellowOrange}a_n}={\color{OliveGreen}\alpha}{\color{MidNightBlue}n^3}+{\color{Red}\beta}{\color{MidNightBlue}n^2} +{\color{SkyBlue}\gamma}{\color{MidNightBlue}n}+{\color{Magenta}\delta } [/tex3]

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Isso ocorre sucessivamente. Vestibulares como ITA/IME (FELIZMENTE) costumam cobrar até P.A. de Ordem 2, raramente chegando a Ordem 3

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Primeiro devemos saber que ordem está a P.A., para isso realizamos a subtração de dois termos sucessivos, isso cria uma nova P.A. com o Grau anterior. Repetimos sucessivamente até o valor ser constante (P.A. de Ordem 0):

[tex3]a:(\,\,\,a_1\,\,\,,\,\,\,a_2\,\,\,,\,\,\,a_3\,\,\,,\,\,\,a_4\,\,\,,\,\,\,a_5\,\,\,,\,\,\,...\,\,\,)[/tex3]
[tex3]\Delta a:(\,\,\,a_1-a_1\,\,\,,\,\,\,a_3-a_2\,\,\,,\,\,\,a_4-a_3\,\,\,,\,\,\,a_5-a_4\,\,\,,\,\,\,a_6-a_5\,\,\,,\,\,\,...\,\,\,)[/tex3]

Repetimos até se tornar um número Constante, Logo

[tex3]a:(\,\,\,7\,\,\,,\,\,\,22\,\,\,,\,\,\,45\,\,\,,\,\,\,76\,\,\,,\,\,\,115\,\,\,,\,\,\,...\,\,\,,\,\,\,a_n\,\,\,)[/tex3]
[tex3]\Delta a:(\,\,\,22-7\,\,\,,\,\,\,45-22\,\,\,,\,\,\,76-45\,\,\,,\,\,\,115-76\,\,\,,\,\,\,...\,\,\,)[/tex3]
[tex3]\Delta a:(\,\,\,15\,\,\,,\,\,\,23\,\,\,,\,\,\,31\,\,\,,\,\,\,39\,\,\,,\,\,\,...\,\,\,)[/tex3]
[tex3]\Delta (\Delta a):(\,\,\,23-15\,\,\,,\,\,\,31-23\,\,\,,\,\,\,39-31\,\,\,,\,\,\,...\,\,\,)[/tex3]
[tex3]\Delta (\Delta a):(\,\,\,8\,\,\,,\,\,\,8\,\,\,,\,\,\,8\,\,\,,\,\,\,...\,\,\,)[/tex3]

Dois [tex3]\Delta 's[/tex3] , sendo assim é uma P.A. de Ordem 2

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

A Forma mais Simples é Resolver por Sistema, como é de Ordem 2, precisamos dos primeiros 3 termos

[tex3]\begin{cases}
a_1=\alpha n_1^2+\beta n_1+\gamma \\
a_2=\alpha n_2^2+\beta n_2+\gamma \\
a_3=\alpha n_3^2+\beta n_3+\gamma
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
7=\alpha +\beta +\gamma \\
22=4\alpha+2\beta+\gamma \\
45=9\alpha+3\beta +\gamma
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
15=3\alpha +\beta\\
23=5\alpha +\beta
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
8=2\alpha
\end{cases}[/tex3]

Usando [tex3]\alpha=4[/tex3] e voltando, achamos [tex3]\beta=3[/tex3] e [tex3]\gamma =0[/tex3]

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Logo:

[tex3]a_n=\alpha n^2+\beta n+\gamma [/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{a_n=4n^2+3 n}[/tex3]

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Existe um Segundo Modo mas ele é mais complexo, não vou dizer que não é útil e alguns casos, mas como eu to cansado e com preguiça e esse Post tá ENORME, acho que tá bom esse modo que já auxilia bastante...

"Q Post Longo, o que estou fazendo com minha vida... ai ai... bom, final do ano vou rever essa matéria por aqui msm XD"

Última edição: LostWalker (Qua 17 Abr, 2019 21:15). Total de 1 vez.


"[...] Mas essa é a graça dos encontros e desencontros: a Coincidência e o Destino. Se pudesse resumir, diria: A causalidade é a Ironia do Universo."
-Melly

Movido de IME / ITA para Ensino Médio em Seg 22 Abr, 2019 16:30 por ALDRIN

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