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Mensagem não lidapor **thetruthFMA** » 12 Abr 2019, 11:59

Sobre os lados de um triângulo marcam-se, respectivamente, 3, 4 e 5 pontos distintos, não coincidindo com os vértices. Quantos segmentos de reta podemos obter, unindo, 2 a 2, os centros de todas as circunferencias que passam por 3 quaisquer dos pontos marcados?

Resposta

20910

Mensagem não lidapor **csmarcelo** » 12 Abr 2019, 14:37 · Mensagem não lida por **csmarcelo** » 12 Abr 2019, 14:37

Dá pra chegar no gabarito, mas eu vejo um problema: 4 pontos quaisquer podem fazer parte de uma mesma circunferência, com isso, não poderíamos tratar cada trio distinto de pontos como uma circunferência distinta.

De qualquer forma, segue a resolução.

Suponhamos que os três pontos foram marcados no lado [tex3]a[/tex3] , os quatro pontos foram marcados no lado [tex3]b[/tex3] e os cinco pontos foram marcados no lado [tex3]c[/tex3] .

Devemos escolher sempre três pontos, desde que não sejam os três colineares simultaneamente.

Vamos analisar os casos.

1)

[tex3]C^3_1=3[/tex3] maneira(s) de escolher um ponto no lado [tex3]a[/tex3] .
[tex3]C^4_1=4[/tex3] maneira(s) de escolher um ponto no lado [tex3]b[/tex3] .
[tex3]C^5_1=5[/tex3] maneira(s) de escolher um ponto no lado [tex3]c[/tex3] .

Isso dá um subtotal de 60 combinações de pontos.

2)

[tex3]C^3_2=3[/tex3] maneira(s) de escolher um ponto no lado [tex3]a[/tex3] .
[tex3]C^4_1=4[/tex3] maneira(s) de escolher um ponto no lado [tex3]b[/tex3] .

Isso dá um subtotal de 12 combinações de pontos.

3)

[tex3]C^3_2=3[/tex3] maneira(s) de escolher um ponto no lado [tex3]a[/tex3] .
[tex3]C^5_1=5[/tex3] maneira(s) de escolher um ponto no lado [tex3]c[/tex3] .

Isso dá um subtotal de 15 combinações de pontos.

4)

[tex3]C^4_2=6[/tex3] maneira(s) de escolher um ponto no lado [tex3]b[/tex3] .
[tex3]C^3_1=3[/tex3] maneira(s) de escolher um ponto no lado [tex3]a[/tex3] .

Isso dá um subtotal de 18 combinações de pontos.

5)

[tex3]C^4_2=6[/tex3] maneira(s) de escolher um ponto no lado [tex3]b[/tex3] .
[tex3]C^5_1=5[/tex3] maneira(s) de escolher um ponto no lado [tex3]c[/tex3] .

Isso dá um subtotal de 30 combinações de pontos.

6)

[tex3]C^5_2=10[/tex3] maneira(s) de escolher um ponto no lado [tex3]c[/tex3] .
[tex3]C^3_1=3[/tex3] maneira(s) de escolher um ponto no lado [tex3]a[/tex3] .

Isso dá um subtotal de 30 combinações de pontos.

7)

[tex3]C^5_2=10[/tex3] maneira(s) de escolher um ponto no lado [tex3]c[/tex3] .
[tex3]C^4_1=4[/tex3] maneira(s) de escolher um ponto no lado [tex3]b[/tex3] .

Isso dá um subtotal de 40 combinações de pontos.

Temos, então, um total de [tex3]60+12+15+18+30+30+40=205[/tex3] combinações de três pontos, o que resulta em 205 circunferências e, portanto, [tex3]C^{205}_2=20910[/tex3] segmentos que unem, 2 a 2, os centros das circunferências.

Mensagem não lidapor **csmarcelo** » 12 Abr 2019, 14:41 · Mensagem não lida por **csmarcelo** » 12 Abr 2019, 14:41

MateusQqMD

Mensagem não lidapor **Valdir** » 12 Abr 2019, 15:57 · Mensagem não lida por **Valdir** » 12 Abr 2019, 15:57

csmarcelo, Olá, queria saber se realmente entendi o exercício.
Essa figura que fiz representa um dos 20910 segmentos de reta ? [tex3]C^{205}_2=20910[/tex3]

: WhatsApp Image 2019-04-12 at 15.48.28.jpeg (48.91 KiB) Exibido 2884 vezes

Mensagem não lidapor **csmarcelo** » 12 Abr 2019, 15:59 · Mensagem não lida por **csmarcelo** » 12 Abr 2019, 15:59

Valdir, exatamente!

Mensagem não lidapor **MateusQqMD** » 12 Abr 2019, 20:00 · Mensagem não lida por **MateusQqMD** » 12 Abr 2019, 20:00

Marcelo, eu não consegui entender porque cada trio de três pontos distintos não garantem circunferências distintas. Para mim o que você fez está certo. Outra forma de fazer essa contagem é por inclusão-exclusão. Há [tex3]C_{12}^3 = 220 [/tex3] modos de selecionar quaisquer três pontos. Há [tex3]C_3^3 = 1[/tex3] modo de selecionar três pontos colineares pertencentes a um dos lados. Há [tex3]C_4^3 = 4[/tex3] modos de selecionar três pontos colineares pertencentes a um dos lados. Há [tex3]C_5^3 = 10[/tex3] modos de selecionar três pontos colineares pertencentes a um dos lados. Daí, são em número de [tex3]220 - 1 - 4 - 10 = 205[/tex3] as formas de selecionar três pontos não colineares.

Mensagem não lidapor **csmarcelo** » 12 Abr 2019, 22:43 · Mensagem não lida por **csmarcelo** » 12 Abr 2019, 22:43

Quaisquer três pontos na imagem (com exceção dos vértices) determinam a mesma circunferência.

: Untitled.png (35.25 KiB) Exibido 2872 vezes

Edit: E o centro [tex3]D[/tex3] da circunferência.

Mensagem não lidapor **Valdir** » 12 Abr 2019, 22:51 · Mensagem não lida por **Valdir** » 12 Abr 2019, 22:51

MateusQqMD,então, me desculpa se eu tiver enganado, mas a notação correta não seria: [tex3]C_3^5 = 10[/tex3]
ou seria assim mesmo: [tex3]C_5^3 = 10[/tex3]
Só para não confundir.

Mensagem não lidapor **MateusQqMD** » 12 Abr 2019, 22:52 · Mensagem não lida por **MateusQqMD** » 12 Abr 2019, 22:52

csmarcelo escreveu: ↑12 Abr 2019, 22:43 Quaisquer três pontos na imagem (com exceção dos vértices) determinam a mesma circunferência.

Edit: E o centro [tex3]D[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]D[/tex3]
da circunferência.

Estranho, porque aí não consigo enxergar como a gente conta isso

Mensagem não lidapor **csmarcelo** » 12 Abr 2019, 22:55 · Mensagem não lida por **csmarcelo** » 12 Abr 2019, 22:55

Todo mundo coloca [tex3]n[/tex3] embaixo, mas eu tenho o costume de colocar em cima.

De qualquer forma, não dá pra condunfir, o número total de elementos sempre será maior que o número de elementos agrupados.

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