Ensino SuperiorIntegral.

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Integral.

Mensagem não lida por AnaCarolina22 »

Olá pessoal! Como vão vocês? Sou nova aqui. Eu preciso de uma gentileza se alguém puder me ajudar. Eu preciso resolver essa integral por meio do centro de massa de uma peça e eu não estou conseguindo resolver essa integral. Alguém aqui no fórum poderia me auxiliar com essa resolução? Vou ficar bastante agradecida com isso. Vamos lá!
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erihh3
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Re: Integral.

Mensagem não lida por erihh3 »

Em qual das integrais você esta com difuculdade?



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Re: Integral.

Mensagem não lida por AnaCarolina22 »

erihh3 escreveu:
Ter 26 Mar, 2019 08:49
Em qual das integrais você esta com difuculdade?
Oi, Erihh. Bom dia! Eu apenas consegui montar. Eu estou com dificuldade nela como um todo, entende? Não consegui desenvolver mais do que isso. Eu queria conseguir resolvê-la por completo. Você me ajudaria por gentileza?



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erihh3
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Re: Integral.

Mensagem não lida por erihh3 »

pelo menos 4 integrais serão necessárias para resolver a questão:

1) [tex3]\int_0^{70}z.\pi19^2dz=19^2.\pi.\frac{z^2}{2}=19^2.\pi.\frac{70^2}{2}[/tex3]


2) [tex3]\int\pi19^2dz=19^2.\pi.z+C;\quad C\in \mathbb{R}[/tex3]


3)[tex3]\int_0^{19}\int_0^{2\pi}70.r.\cos(\theta).r.d\theta dr[/tex3]

[tex3]70\int_0^{19}r^2dr\int_0^{2\pi}\cos(\theta).d\theta[/tex3]

[tex3]70.\frac{r^3}{3}.\sen(\theta)=70.\frac{19^3}{3}.(-\sen(2\pi)+-\sen(0))=0[/tex3]


4) [tex3]\int_0^{19}\int_0^{2\pi}70.r.\sin(\theta).r.d\theta dr[/tex3]

[tex3]70\int_0^{19}r^2dr\int_0^{2\pi}\sin(\theta).d\theta[/tex3]

[tex3]70.\frac{r^3}{3}.(-\cos(\theta))=70.\frac{19^3}{3}.(-\cos(2\pi)+-\cos(0))=0[/tex3]



Assim,

[tex3]\bar{z}=\frac{\int_0^{70}z.\pi19^2dz}{\int\pi19^2dz}=\frac{19^2.\pi.\frac{70^2}{2}}{19^2.\pi.z+C}[/tex3]

[tex3]\bar{x}=\frac{\int_0^{19}\int_0^{2\pi}70.r.\cos(\theta).r.d\theta dr}{\int_0^{19}\int_0^{2\pi}70.r.d\theta dr}=\frac{0}{\int_0^{19}\int_0^{2\pi}70.r.d\theta dr}=0[/tex3]

[tex3]\bar{y}=\frac{\int_0^{19}\int_0^{2\pi}70.r.\sen(\theta).r.d\theta dr}{\int_0^{19}\int_0^{2\pi}70.r.d\theta dr}=\frac{0}{\int_0^{19}\int_0^{2\pi}70.r.d\theta dr}=0[/tex3]




Obs: eu só resolvi as integrais da foto mesmo. Qualquer dúvida, pode perguntar.


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Re: Integral

Mensagem não lida por AnaCarolina22 »

Oi, Erihh. Boa noite! Tudo bem? Muito obrigada por me ajudar nessa parte cilíndrica. Mas eu esqueci de dizer que eu preciso calcular por integral a parte sextavada do parafuso. E depois eu tenho que somar ambas pra encontrar o centro de massa delas entendeu?

Sextavado tem: 32 Diâmetro x 12 Altura

Você ainda consegue me ajudar? Se você nao conseguir de qualquer maneira eu estou muito agradecida pela sua gentileza.
Última edição: AnaCarolina22 (Dom 31 Mar, 2019 13:24). Total de 1 vez.



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Re: Integral.

Mensagem não lida por erihh3 »

Esta faltando informação pra resolver, mas eu vou considerar que o hexágono é regular.

Com isso, 32 equivale a altura de dois triângulos equilateros.

[tex3]2.\frac{l.\sqrt 3}{2}= 32[/tex3]

[tex3]l^2= \frac{32^2}{3}[/tex3]

Sabemos que o hexágono regular é formado por 6 triângulos equilatwros. Daí,

[tex3]A=6. \frac{l^2.\sqrt 3}{4}[/tex3]

[tex3]A=6. \frac{\frac{32^2}{3}.\sqrt 3}{4}[/tex3]

[tex3]A=512.\sqrt 3[/tex3]

Por ser um.prisma, o.volume será

[tex3]V=A.h [/tex3]

[tex3]V=512.\sqrt 3 . 12[/tex3]

Daí, basta sabermos que, por ser simétrico, o centro de massa em x e y não mudará e continuará 0.

Em z, por sua vez, basta adicionar essa parcela.

No numerador, adicionariamos

[tex3]\int_{70}^{82}z.512.\sqrt 3 . 12. dz=512.\sqrt 3 . 12.\frac{z^2}{2}=512.\sqrt 3 . 12.\frac{(82^2-70^2)}{2}[/tex3]

No denominador, o próprio V

[tex3]V=512.\sqrt 3 . 12[/tex3]

Daí,

[tex3]\bar{z}=\frac{\int_0^{70}z.\pi19^2dz +\int_{70}^{82}z.512.\sqrt 3 . 12. dz }{\int\pi19^2dz+ 512.\sqrt 3 . 12
}=\frac{19^2.\pi.\frac{70^2}{2} +512.\sqrt 3 . 12.\frac{(82^2-70^2)}{2} }{19^2.\pi.z+C+ 512.\sqrt 3 . 12 }[/tex3]


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Re: Integral.

Mensagem não lida por AnaCarolina22 »

Oi, Erihh. Boa noite! É pedido desta forma no enunciado:
50B20356-5664-4542-92F1-AC03D693C7BE.jpeg
50B20356-5664-4542-92F1-AC03D693C7BE.jpeg (121.34 KiB) Exibido 867 vezes
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Re: Integral.

Mensagem não lida por AnaCarolina22 »

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Re: Integral.

Mensagem não lida por erihh3 »

Eu acho que a solução se mantém, mas da pra determinar todos numericamente.

[tex3]\int\pi19^2dz=19^2.\pi.z+C;\quad C\in \mathbb{R}[/tex3]

Aplicando os limtes de integração

[tex3]\int_0^{70}\pi19^2dz=19^2.\pi.z=19^2.\pi.70[/tex3]

Daí,

[tex3]\bar{z}=\frac{19^2.\pi.\frac{70^2}{2} +512.\sqrt 3 . 12.\frac{(82^2-70^2)}{2} }{19^2.\pi.70+ 512.\sqrt 3 . 12 }[/tex3]

Com isso,

[tex3]\bar{z}=\frac{19^2.\pi.\frac{70^2}{2} +512.\sqrt 3 . 12.\frac{(82^2-70^2)}{2} }{19^2.\pi.70+ 512.\sqrt 3 . 12 }[/tex3]

[tex3]\bar{x}=0[/tex3]

[tex3]\bar{y}=0[/tex3]




Obs: basta adicionar a tolerância de [tex3]\pm 0,2\,mm[/tex3] em cada coordenada do centro de massa.
Obs2: eu confiei nas suas integrais e as resolvi aqui ajustando os limites de integração apenas.


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Re: Integral.

Mensagem não lida por AnaCarolina22 »

Olá, Erihh. Boa noite! Primeiramente agradecer pela sua gentileza. A sua ajuda foi essencial para que pudesse me farm um norte nessa parte de Integral que infelizmente estou começando a estudar sobre em minha faculdade, devido grande parte que dificultou o andamento para que eu pudesse tentar fazer sozinha, eu infelizmente não consegui. Mas felizmente você me deu total ajuda aqui. Estou lisonjeada com isso. Eu queria aproveitar apenas para reiterar. Essa Integral que você utilizou desde o princípio foi Integral Tripla ou Dupla? Muito obrigada!




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