Pré-VestibularGeometria Plana-poligonos Tópico resolvido

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vitorsl123
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Geometria Plana-poligonos

Mensagem não lida por vitorsl123 »

Um ponto P no lado AB de um triângulo retângulo ABC é tal que BP=PA=2. Sendo o ponto Q na hipotenusa AC, tal que PQ é perpendicular a AC, sabendo que CB=3 , quanto mede BQ ?

Última edição: vitorsl123 (Sex 08 Mar, 2019 10:45). Total de 3 vezes.



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Planck
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Re: Geometria Plana-poligonos

Mensagem não lida por Planck »

Olá vitorsl123,

Inicialmente, podemos notar que trata-se de um triângulo retângulo pitagórico:
geogebra-export (3).png
geogebra-export (3).png (75.69 KiB) Exibido 1748 vezes
Se, [tex3]BP=PA=2[/tex3] , então [tex3]BA=4[/tex3] , logo, os catetos são [tex3]4[/tex3] e [tex3]3[/tex3] e, consequentemente, a hipotenusa [tex3]AC[/tex3] é [tex3]5[/tex3] .

Com isso, podemos prosseguir. Note que [tex3]\Delta PQA[/tex3] é retângulo e semelhante ao [tex3]\Delta ABC[/tex3] . Assim, podemos encontrar [tex3]PQ[/tex3] :

[tex3]\frac{PQ}{BC}=\frac{AP}{AC}\leftrightarrow\frac{PQ}{3} =\frac{2}{5}\rightarrow PQ=\frac{6}{5}[/tex3]

Podemos perceber que [tex3]\angle APQ\sim\angle ACB[/tex3] , logo:

[tex3]\cos\angle ACB=\frac{3}{5} [/tex3]

Além disso, note que:

[tex3]\cos\angle BPQ=\cos (180º-\angle APQ)\Rightarrow -\cos\angle APQ=-\cos\angle ACB [/tex3]
geogebra-export (2).png
geogebra-export (2).png (87.24 KiB) Exibido 1748 vezes
Desse modo, podemos calcular [tex3]BQ[/tex3] pela Lei dos Cossenos:

[tex3]a^2=b^2+c^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos\theta [/tex3]
[tex3]a^2=\left(\frac{6}{5}\right)^2+2^2-2\cdot \frac{6}{5}\cdot 2\cdot (-\frac{3}{5})[/tex3]
[tex3]a^2=\frac{208}{25}\rightarrow \sqrt{\frac{208}{25}}=\boxed{\frac{4\sqrt{13}}{5}}[/tex3]




Deleted User 23699
6 - Doutor
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Jun 2020 09 20:54

Re: Geometria Plana-poligonos

Mensagem não lida por Deleted User 23699 »

Outra solução:

Por semelhança encontramos PQ = 1,2 e QC = 3,4
Pitágoras em PBC fornece PC = raiz de 13
Resta aplicar Ptolomeu
BQ . PC = PQ . BC + PB . QC
BQ = 10,4 / raiz de 13

Que é numericamente igual à resposta do Planck




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