Ensino Médio ⇒ Geometria Plana Tópico resolvido

[vitorsl123]

Em um polgono convexo, um dos ângulos internos mede 152 graus e cada um dos outros é maior que 166 graus. No minímo, quantos lados tem esse polígono?

Resposta

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25

[csmarcelo]

Seja [tex3]n[/tex3]

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[tex3]n[/tex3]

o número de lados desse polígono e suponhamos que todos os ângulos maiores que 166 graus medem, na verdade, exatamente esse valor.

Logo, a soma de seus ângulos internos será igual a

[tex3]152+166(n-1)[/tex3]

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[tex3]152+166(n-1)[/tex3]

Mas sabemos que a soma dos ângulos internos de um polígono convexo de [tex3]n[/tex3]

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[tex3]n[/tex3]

lados é igual a

[tex3]180(n-2)[/tex3]

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[tex3]180(n-2)[/tex3]

Daí,

[tex3]152+166(n-1)=180(n-2)\therefore n=\frac{346}{14}\approx24,71[/tex3]

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[tex3]152+166(n-1)=180(n-2)\therefore n=\frac{346}{14}\approx24,71[/tex3]

Ou seja, nosso hipotético polígono (um ângulo de 152 graus e [tex3]n-1[/tex3]

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[tex3]n-1[/tex3]

de 166) teria, aproximadamente, 24,71 lados, o que é um absurdo, mas nos leva à resposta do problema.

Como não dá para aumentar a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo e, ao mesmo tempo, diminuir ou manter o seu número de lados, se um polígono como o nosso precisa de quase 25 lados (absurdo, eu sei), então um polígono com uma soma de ângulos internos maior precisará, invariavelmente, de mais lados. Assim, apesar de não sabermos quantos são, sabemos que ele precisará, no mínimo, de 25 lados.