Pré-Vestibular ⇒ (PUCRJ) Geometria Plana Tópico resolvido

[skulllsux189]

Considere um triângulo equilátero ABC de lado 1. Traçamos um arco de círculo de centro A ligando B a C, como na figura.

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Quanto vale a área da região assinalada, que fica fora do triângulo e dentro do círculo?

[LostWalker]

Vemos inicialmente na figura o Triangulo equilátero, ou seja, podemos afirmar que:

[tex3]B\hat AC=60^\circ[/tex3]

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[tex3]B\hat AC=60^\circ[/tex3]

Com isso, precisamos apenas saber qual a Área do Setor Circular e subtrair pela Área do Triângulo

Podemos simplesmente usar Regra de 3 sabendo das propriedades básicas de Circulo e Área de Circulo, então:

[tex3]\frac{360^\circ}{60^\circ}=\frac{\pi r^2}{x}[/tex3]

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[tex3]\frac{360^\circ}{60^\circ}=\frac{\pi r^2}{x}[/tex3]

[tex3]6=\frac{\pi r^2}{x}[/tex3]

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[tex3]6=\frac{\pi r^2}{x}[/tex3]

[tex3]x=\frac{\pi r^2}{6}[/tex3]

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[tex3]x=\frac{\pi r^2}{6}[/tex3]

Sendo nesse caso [tex3]r=\overline{AB}=\overline{AC}=1[/tex3]

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[tex3]r=\overline{AB}=\overline{AC}=1[/tex3]

[tex3]A_\circ=x=\frac{\pi}{6}\ ua[/tex3]

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[tex3]A_\circ=x=\frac{\pi}{6}\ ua[/tex3]

Agora, sobre o Triângulo, por propriedade, sabemos que a Área do Triângulo Equilátero[tex3]=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}[/tex3]

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[tex3]=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}[/tex3]

Como [tex3]l=1[/tex3]

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[tex3]l=1[/tex3]

, então:

[tex3]A_\Delta =\frac{\sqrt{3}}{4}\ ua[/tex3]

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[tex3]A_\Delta =\frac{\sqrt{3}}{4}\ ua[/tex3]

Logo, a Área preenchida é:

[tex3]A_p=A_\circ-A_\Delta[/tex3]

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[tex3]A_p=A_\circ-A_\Delta[/tex3]

[tex3]A_p=\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{4} [/tex3]

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[tex3]A_p=\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{4} [/tex3]

OBS: A propriedade Área do Triângulo Equilátero[tex3]=l\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]=l\sqrt{3}[/tex3]

pode ser adquirida desenvolvendo Pitágoras através da seguinte ideia:

Fórum - Triângulo Equilátero.png (30.73 KiB) Exibido 3087 vezes

Onde se descobrirá que [tex3]h=\frac {l\sqrt{3}}{2}[/tex3]

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[tex3]h=\frac {l\sqrt{3}}{2}[/tex3]

E:

[tex3]A_\Delta =\frac {\frac{l}{2}.l\sqrt{3}}{2}[/tex3]

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[tex3]A_\Delta =\frac {\frac{l}{2}.l\sqrt{3}}{2}[/tex3]

[tex3]A_\Delta=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}[/tex3]

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[tex3]A_\Delta=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}[/tex3]

[ALANSILVA]

A área do triângulo equilátero é [tex3]\frac{l^2\sqrt{3}}{4}[/tex3]

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[tex3]\frac{l^2\sqrt{3}}{4}[/tex3]

[LostWalker]

A área do triângulo equilátero é [tex3]\frac{l^2\sqrt{3}}{4}[/tex3]

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[tex3]\frac{l^2\sqrt{3}}{4}[/tex3]

Meeee, real. Esqueci. Vlw, vou arrumar minha resposta para ficar certinho, dei mancada