Pré-Vestibular ⇒ (UEM) Função quadrática Tópico resolvido

[rumoafa]

Considere a função f definida por f(x)=[tex3]c(x-a)^{2}[/tex3]+b, onde a e b são constantes quaisquer e c uma constante não-nula. Assinale o que for correto.

(01) f(x)[tex3]\geq [/tex3]

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[tex3]\geq [/tex3]

0, para todo x real.

(02) Se c>0 , então a imagem de f é o conjunto {y [tex3]\in [/tex3]

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[tex3]\in [/tex3]

[tex3]\mathbb{R}[/tex3]

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[tex3]\mathbb{R}[/tex3]

/ y [tex3]\geq [/tex3]

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[tex3]\geq [/tex3]

b}.

(04) O gráfico de f é uma parábola simétrica em relação a reta ×=a e com vértice em (a,b).

(08) Se b e c são não-nulos e têm sinais contrários, então a equação y= f(x) tem duas raízes distintas.

(16) Se b < 0 e c < 0, então f(x) < 0 para todo x real.

(32) f(-x) = f(x), para todo x real.

Resposta

---

02+04+08+16=30

[leomaxwell]

Olá,

01) Errada, se x = a e b < 0, por exemplo, tem-se f(x) < 0

02) Correta, se c > 0, o menor valor que c(x-a)² pode assumir é 0, pois (x-a)² é sempre maior ou igual a zero. Nesse caso tem-se f(x) = b. Caso [tex3]x\neq a[/tex3]

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[tex3]x\neq a[/tex3]

, [tex3]f(x) > b[/tex3]

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[tex3]f(x) > b[/tex3]

04) Correta, f(x) = c(x-a)² + b = cx² - 2acx + ca² + b. Sabemos que as parabolas são simétricas em relação a reta x = Xv (Xv = x do vértice). Na nossa funçã0, [tex3]Xv = \frac{-(-2ac)}{2c}=a[/tex3]

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[tex3]Xv = \frac{-(-2ac)}{2c}=a[/tex3]

.

08) Correta, para a função ter duas raízes distintas [tex3]\Delta >0\Rightarrow (-2ac)^2-4c(ca^2+b) > 0 [/tex3]

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[tex3]\Delta >0\Rightarrow (-2ac)^2-4c(ca^2+b) > 0 [/tex3]

[tex3]\Rightarrow 4a^2c^2-4a^2c^2-4bc > 0\Rightarrow4bc <0 \ (I) [/tex3]

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[tex3]\Rightarrow 4a^2c^2-4a^2c^2-4bc > 0\Rightarrow4bc <0 \ (I) [/tex3]

. Como b e c tem sinais contrários, a inequação (I) é verdadeira e, portanto, a função tem duas raízes distintas

16) Correta, se c < 0, entao [tex3]c(x-a)^2\leq 0[/tex3]

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[tex3]c(x-a)^2\leq 0[/tex3]

. Como b < 0 também, teremos f(x) < 0

32) Errada, suponha que f(-x) = f(x), teremos então:
[tex3]c(-x-a)^2+b=c(x-a)^2+b\Rightarrow x^2+2ax+a^2=x^2-2ax+a^2 [/tex3]

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[tex3]c(-x-a)^2+b=c(x-a)^2+b\Rightarrow x^2+2ax+a^2=x^2-2ax+a^2 [/tex3]

[tex3]\Rightarrow 4ax = 0 [/tex3]

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[tex3]\Rightarrow 4ax = 0 [/tex3]

, o que nem sempre é verdade (se x = a = 1, por exemplo)