Ensino Superior

Bom dia,
Segue o exerecício:

Dois lados de um triângulo encontram-se sobre as retas r1 : [tex3]\begin{cases}
x=2t \\
y=3+t
\end{cases}[/tex3] ∀t ∈ R, e r2 :[tex3]\begin{cases}
x=2-s \\
y=4+s
\end{cases}[/tex3] ∀s ∈ R, e seja A = (0, 6) um dos vértices do triângulo, determine:

a) Os outros vértices do triângulo sabendo que o baricentro têm coordenadas G = (−2, 3).
b) Uma equação paramétrica da reta que contem o terceiro lado.

Observe

Uma solução:

a)

Fazendo [tex3]r_{1}\cap r_{2}[/tex3] :

[tex3]\begin{cases}
2t=2-s \\
3+t=4+s
\end{cases}[/tex3]

Resolvendo o sistema acima, resulta que , t = 1 e s = 0. Substituindo esses valores na reta 1 ou na reta 2, encontramos x = 2 e y = 4 , vamos chamar de ponto B , ou melhor , vértice do triângulo ABC , B = ( 2 , 4 )

Obs1. [tex3]r_{1}\cap r_{2}[/tex3] = B = ( 2 , 4 ) [tex3]\in r_{1},r_{2}[/tex3] .

Ora , como o vértice B = ( 2 , 4 ) é a intersecção das retas 1 e 2, logo a reta 3 ( a ser determinada ) passa pelos vértices A = ( 0 , 6 ) e C = ( x , y )( vértice a ser determinado ), reta que contém o terceiro lado do triângulo ABC. Usando o teorema do baricentro, temos que:

[tex3]x_{G}=\frac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3}[/tex3]

[tex3]-2=\frac{0+2+x_{C}}{3}[/tex3]

[tex3]x_{C}[/tex3] = - 8

Por outro lado;

[tex3]y_{G}=\frac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3}[/tex3]

[tex3]3=\frac{6+4+x_{C}}{3}[/tex3]

[tex3]y_{C}[/tex3] = - 1

Logo, o vértice C = ( - 8 , - 1 ).

Portanto, os outros dois vértices do triângulo ABC são: B = ( 2 , 4 ) e C = ( - 8 , - 1 ).

b) Vamos determinar agora a reta( equação paramétrica ) que contém o terceiro lado. Como essa reta passa pelos pontos A e C , temos:

[tex3]\vec{AC}=C-A=(-8,-1)-(0,6)=(-8,-7)[/tex3]

Tomando o ponto A = ( 0 , 6 ), fica;

[tex3]r_{3}:\begin{cases}
x=-8u \\
y=6-7u
\end{cases},∀u\in \mathbb{R} [/tex3]

Se você tomar o ponto C = ( - 8 , - 1 ), fica;

[tex3]r_{3}:\begin{cases}
x=-8-8u \\
y=-1-7u
\end{cases} ,∀u\in \mathbb{R} [/tex3]

Obs2. Eu usei o "u" como parâmetro da reta três ( 3 ). Não sei qual foi o parâmetro que o autor do livro ( questão ) usou, de qualquer forma está correto

.

Obs3. As equações das retas na forma geral são:

[tex3]r_{1}[/tex3] : x - 2y + 6 = 0

[tex3]r_{2}[/tex3] : x + y - 6 = 0

[tex3]r_{3}[/tex3] : 7x - 8y + 48 = 0

Nota

A reta [tex3]r_{1}[/tex3] : passa pelos vértices ( pontos ) B = ( 2 , 4 ) e C = ( - 8 , - 1 ).

A reta [tex3]r_{2}[/tex3] : passa pelos vértices ( pontos ) A = ( 0 , 6 ) e B = ( 2 , 4 ).

A reta [tex3]r_{3}[/tex3] : passa pelos vértices ( pontos ) A = ( 0 , 6 ) e C = ( - 8 , - 1 ).

Obs4. Se o colega tivesse colocado o gabarito , tenho a absoluta certeza de que algum usuário já teria respondido esta questão, a não ser que você realmente não o tenha. Uma questão com gabarito facilita bastante na resolução de uma questão, até mesmo porque existem livros que trazem gabaritos incorretos, serveria até mesmo para comparar, como já vi aqui mesmo neste fórum. Muitas vezes uma questão deixa de ser resolvida simplesmente pelo fato de não ter o gabarito.

Bons estudos!

Muito obrigado amigo,
Realmente esta questão não tinha gabarito, mas verificarei o resultado em outras fontes e informarei em breve aqui no fórum.
ABS, e bom carnaval!

Excelente carnaval para você

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