Calcule a integral:
[tex3]\int sec^{5}xdx[/tex3]
Agradeço desde já.
[ ]'s.
Ensino Superior ⇒ Integral 2. Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Fev 2019
24
00:37
Re: Integral 2.
Olá, aleixoreis
Sempre que temos um caso assim, a integração a ser feita é por partes:
[tex3]\int udv =uv-\int vdu[/tex3] [tex3]{\color{red}I}[/tex3]
[tex3]\int \sec^3x.\sec^2x[/tex3]
Vamos decidir qual vai ser nosso [tex3]u[/tex3] e qual vai ser nosso [tex3]v[/tex3] . Nesse caso, sempre convém definir [tex3]dv[/tex3] como [tex3]\sec^2x[/tex3] pois a integral é [tex3]\tan x[/tex3] . Assim, [tex3]u[/tex3] é [tex3]\sec^3x[/tex3] .
Para derivar [tex3]\sec^3x[/tex3] , vamos utilizar a fórmula da derivada de uma potência:
[tex3]\frac{d}{dx}v^n=nv^{n-1}v'[/tex3]
[tex3]du=3\sec^2x\sec x \tan xdx[/tex3]
[tex3]du=3\sec^3x\tan xdx{\color{red}II}[/tex3]
Vamos calcular o [tex3]v[/tex3] integrando de [tex3]\sec^2x[/tex3] :
[tex3]dv=\sec^2xdx[/tex3]
[tex3]v=\int \sec^2xdx[/tex3]
[tex3]v=\tan x{\color{red}III}[/tex3]
Substituindo [tex3]{\color{red}III}[/tex3] e [tex3]{\color{red}II}[/tex3] em [tex3]{\color{red}I}[/tex3] , temos:
[tex3]=\sec^3x.\tan x-3\int \sec^3x\tan^2xdx [/tex3]
Vamos fazer a seguinte substituição, [tex3]\tan^2x=\sec^2x-1[/tex3] :
[tex3]=\sec^3x\tan x-3\int \sec^3x(\sec^2x-1)dx [/tex3]
[tex3]=\sec^3x\tan x-3\int \sec^5xdx+3\int \sec^3xdx [/tex3]
([tex3]\sec^3x[/tex3] também se integra por partes, mas para ir direto ao principal, vou colocar apenas o resultado)
[tex3]=\sec^3x\tan x-3\int \sec^5xdx+3\left(\frac{1}{2}\sec x\tan x+\frac{1}{2}\ln|\sec x+\tan x| \right) [/tex3]
[tex3]=\sec^3x\tan x-3\int \sec^5xdx+\frac{3}{2}\sec x\tan x+\frac{3}{2}\ln|\sec x+\tan x |[/tex3]
Temos, então:
[tex3]\int \sec^5xdx=\sec^3x\tan x-3\int \sec^5xdx+\frac{3}{2}\sec x\tan x+\frac{3}{2}\ln|\sec x+\tan x |[/tex3]
[tex3]\int \sec^5xdx+3\int \sec^5xdx=\sec^3x\tan x+\frac{3}{2}\sec x\tan x+\frac{3}{2}\ln|\sec x+\tan x| [/tex3]
[tex3]4\int \sec^5xdx=\sec^3x\tan x+\frac{3}{2}\sec x\tan x+\frac{3}{2}\ln|\sec x+\tan x | [/tex3]
[tex3]\int \sec^5xdx=\frac{1}{4}\left(\sec^3x\tan x+\frac{3}{2}\sec x\tan x+\frac{3}{2}\ln|\sec x+\tan x| \right) [/tex3]
[tex3]\int \sec^5xdx=\frac{\sec^3x \tan x}{4}+ \frac{3\sec x \tan x}{8}+\frac{3}{8}\ln|\sec x+\tan x | + C[/tex3]
Ou:
[tex3]\boxed {\int \sec^5xdx=\frac{1}{4}\sec^3x \tan x+ \frac{3}{8}\sec x \tan x+\frac{3}{8}\ln|\sec x+\tan x | + C}[/tex3]
Sempre que temos um caso assim, a integração a ser feita é por partes:
[tex3]\int udv =uv-\int vdu[/tex3] [tex3]{\color{red}I}[/tex3]
[tex3]\int \sec^3x.\sec^2x[/tex3]
Vamos decidir qual vai ser nosso [tex3]u[/tex3] e qual vai ser nosso [tex3]v[/tex3] . Nesse caso, sempre convém definir [tex3]dv[/tex3] como [tex3]\sec^2x[/tex3] pois a integral é [tex3]\tan x[/tex3] . Assim, [tex3]u[/tex3] é [tex3]\sec^3x[/tex3] .
Para derivar [tex3]\sec^3x[/tex3] , vamos utilizar a fórmula da derivada de uma potência:
[tex3]\frac{d}{dx}v^n=nv^{n-1}v'[/tex3]
[tex3]du=3\sec^2x\sec x \tan xdx[/tex3]
[tex3]du=3\sec^3x\tan xdx{\color{red}II}[/tex3]
Vamos calcular o [tex3]v[/tex3] integrando de [tex3]\sec^2x[/tex3] :
[tex3]dv=\sec^2xdx[/tex3]
[tex3]v=\int \sec^2xdx[/tex3]
[tex3]v=\tan x{\color{red}III}[/tex3]
Substituindo [tex3]{\color{red}III}[/tex3] e [tex3]{\color{red}II}[/tex3] em [tex3]{\color{red}I}[/tex3] , temos:
[tex3]=\sec^3x.\tan x-3\int \sec^3x\tan^2xdx [/tex3]
Vamos fazer a seguinte substituição, [tex3]\tan^2x=\sec^2x-1[/tex3] :
[tex3]=\sec^3x\tan x-3\int \sec^3x(\sec^2x-1)dx [/tex3]
[tex3]=\sec^3x\tan x-3\int \sec^5xdx+3\int \sec^3xdx [/tex3]
([tex3]\sec^3x[/tex3] também se integra por partes, mas para ir direto ao principal, vou colocar apenas o resultado)
[tex3]=\sec^3x\tan x-3\int \sec^5xdx+3\left(\frac{1}{2}\sec x\tan x+\frac{1}{2}\ln|\sec x+\tan x| \right) [/tex3]
[tex3]=\sec^3x\tan x-3\int \sec^5xdx+\frac{3}{2}\sec x\tan x+\frac{3}{2}\ln|\sec x+\tan x |[/tex3]
Temos, então:
[tex3]\int \sec^5xdx=\sec^3x\tan x-3\int \sec^5xdx+\frac{3}{2}\sec x\tan x+\frac{3}{2}\ln|\sec x+\tan x |[/tex3]
[tex3]\int \sec^5xdx+3\int \sec^5xdx=\sec^3x\tan x+\frac{3}{2}\sec x\tan x+\frac{3}{2}\ln|\sec x+\tan x| [/tex3]
[tex3]4\int \sec^5xdx=\sec^3x\tan x+\frac{3}{2}\sec x\tan x+\frac{3}{2}\ln|\sec x+\tan x | [/tex3]
[tex3]\int \sec^5xdx=\frac{1}{4}\left(\sec^3x\tan x+\frac{3}{2}\sec x\tan x+\frac{3}{2}\ln|\sec x+\tan x| \right) [/tex3]
[tex3]\int \sec^5xdx=\frac{\sec^3x \tan x}{4}+ \frac{3\sec x \tan x}{8}+\frac{3}{8}\ln|\sec x+\tan x | + C[/tex3]
Ou:
[tex3]\boxed {\int \sec^5xdx=\frac{1}{4}\sec^3x \tan x+ \frac{3}{8}\sec x \tan x+\frac{3}{8}\ln|\sec x+\tan x | + C}[/tex3]
Última edição: Planck (Dom 24 Fev, 2019 00:38). Total de 1 vez.
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