Com base no desenho que enviou, tentei dar uma melhorada no computador e montar uma figura maior:
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[tex3]\Delta CDB[/tex3]
é isósceles, pois CH é bissetriz do triângulo e altura, além de dividir [tex3]\Delta CDB[/tex3]
em dois triângulos iguais, pois possuem a mesma circunferência inscrita, compartilhando um mesmo lado.
[tex3]BC=CD=b[/tex3]
[tex3]BD=a[/tex3]
[tex3]BH=DH=\frac{a}{2}[/tex3]
Tracei dois pontos arbitrários, [tex3]D^{'}[/tex3]
e [tex3]D^{''}[/tex3]
, de tal modo que [tex3]BD^{'}=CD^{''}[/tex3]
, logo, [tex3]CD^{''}=BD=a[/tex3]
- PARTE1.png (49.41 KiB) Exibido 3115 vezes
Além disso, sendo [tex3]T^{'}[/tex3]
e [tex3]T^{''}[/tex3]
os pontos de tangência da circunferência inscrita em [tex3]\Delta ABD[/tex3]
, temos que
[tex3]D^{'}T^{'}=D^{''}T^{''}[/tex3]
[tex3]D^{'}T^{'}=D^{}T^{}[/tex3]
[tex3]D^{}T^{}=D^{''}T^{''}[/tex3]
[tex3]D^{}T^{''}=D^{''}T^{''}[/tex3]
[tex3]m=D^{}T^{}=D^{}T^{''}[/tex3]
[tex3]m=(C^{}D^{''}-C^{}D^{})/2[/tex3]
[tex3]m=(a-b)/2{\color{red}(I)}[/tex3]
Vamos chamar de [tex3]w[/tex3]
o segemento [tex3]CH[/tex3]
, então, a distância de C até o ponto de tangência da circunferência inscrita no [tex3]\Delta CHD[/tex3]
é [tex3]w-r[/tex3]
Além disso, a distância de [tex3]D[/tex3]
até o ponto de tangência na mesma circunferência é [tex3]\frac{a}{2}-r[/tex3]
(observe o segmento [tex3]DH[/tex3]
)
Ou seja, [tex3]b=w-r+\frac{a}{2}-r\rightarrow b=w+\frac{a}{2}-2r{\color{red}(II)}[/tex3]
[tex3]{\color{red}(II)}[/tex3]
em [tex3]{\color{red}(I)}[/tex3]
[tex3]m=[a-(w-r+\frac{a}{2}-r)]/2[/tex3]
(Vamos resolver com foco em separar [tex3]a[/tex3]
dos demais termos:
[tex3]m=\left(\frac{2a-a} 2 -(w-2r) \right)/2[/tex3]
[tex3]m=\left(\frac{2a-a} 2 -(w-2r) \right)/2[/tex3]
[tex3]{\color{red}(III)}[/tex3]
Aplicando o Teorema de Pitágoras em [tex3]\Delta BHC[/tex3]
, temos:
[tex3]b^2=\left(\frac{a}{2}\right)^2+w^2[/tex3]
, mas [tex3]b=w-r+\frac{a}{2}-r[/tex3]
, então:
[tex3]\left(w-r+\frac{a}{2}-r\right)^2=\left(\frac{a}{2}\right)^2+w^2[/tex3]
[tex3]\left(w-r+\frac{a}{2}-r\right)^2-w^2=\left(\frac{a}{2}\right)^2[/tex3]
(Diferença de Quadrados)
[tex3]\left(w-r+\frac{a}{2}-r+w\right)\left(w-r+\frac{a}{2}-r-w\right)=\left(\frac{a}{2}\right)^2[/tex3]
[tex3]\left(2w-2r+\frac{a}{2}\right)\left(-2r+\frac{a}{2}\right)=\left(\frac{a}{2}\right)^2[/tex3]
(Distributiva)
[tex3]2w\frac{a}{2}-4wr+\frac{a^2}{4}-\frac{2ar}{2}--\frac{2ar}{2}+4r^2=\left(\frac{a}{2}\right)^2[/tex3]
[tex3]wa-4wr+\frac{a^2}{4}-2ar-+4r^2=\frac{a^2}{4}[/tex3]
[tex3]wa-2ar+=4wr-4r^2[/tex3]
[tex3]a(w-2r)+=4r(w-r)[/tex3]
[tex3]a=\frac{4r(w-r)}{(w-2r)}{\color{red}(IV)}[/tex3]
Agora, vamos inscrever um círculo de raio [tex3]R[/tex3]
em [tex3]\Delta BCD[/tex3]
, assim:
- PARTE3.png (85.79 KiB) Exibido 3115 vezes
Com ajuda da figura, fica fácil perceber que:
[tex3]CQ=\sqrt[2]{(w-R)^2-R^2}[/tex3]
[tex3]CQ=\sqrt[2]{w^2-2wR+R^2-R^2}[/tex3]
[tex3]CQ=\sqrt[2]{w^2-2wR}=b-\frac{a}{2}=w-2r[/tex3]
(Essa última igualdade é consequência da equação [tex3]{\color{red}(II)}[/tex3]
)
[tex3](\sqrt[2]{w^2-2wR})^2=(w-2r)^2[/tex3]
[tex3]{w^2-2wR}=w^2-4wr+4r^2[/tex3]
[tex3]-2wR=-4wr+4r^2[/tex3]
(Colocando r em evidência e dividindo por 2)
[tex3]-wR=-2r(w-r)[/tex3]
[tex3]R=\frac{2r(w-r)}{w}{\color{red}(V)}[/tex3]
O jeito agora foi eliminar [tex3]R[/tex3]
em benefício de [tex3]r[/tex3]
e [tex3]w[/tex3]
, utilizando o Teorema de Pitágoras na figura (calculando a distância entre os centros da circunferência inscrita em [tex3]\Delta ADB[/tex3]
e [tex3]\Delta BCD[/tex3]
, nós conseguimos eliminar R):
[tex3](R+r)^2+{\left(\frac{a}{2}-m\right)^2}=(R-r)^2+{\left(\frac{a}{2}+m\right)^2}[/tex3]
[tex3]R^2+2Rr+r^2+\frac{a^2}{4}-2\frac{a}{2}m+m^2=R^2-2Rr+r^2+\frac{a^2}{4}+2\frac{a}{2}m+m^2[/tex3]
[tex3]4Rr-2\frac{a}{2}m=+2\frac{a}{2}m[/tex3]
[tex3]4Rr=+2\frac{a}{2}m-+\frac{a}{2}m\rightarrow 2Rr=am[/tex3]
[tex3]2Rr=am[/tex3]
Agora, vamos substituir [tex3]R[/tex3]
por [tex3]R=\frac{2r(w-r)}{w}[/tex3]
:
[tex3]2\left(\frac{2r(w-r)}{w}\right)r=am\rightarrow \frac{4r^2(w-r)}{w}=am[/tex3]
Vamos substituir [tex3]a[/tex3]
e [tex3]m[/tex3]
por [tex3]a=\frac{4r(w-r)}{(w-2r)}{\color{red}(IV)}[/tex3]
e [tex3]m=\left(\frac{2a-a} 2 -\frac{(w-2r)}{2} \right)[/tex3]
[tex3]{\color{red}(III)}[/tex3]
, temos:
[tex3]\frac{4r^2(w-r)}{w}=\frac{4r(w-r)}{(w-2r)}.\left(\frac{2a-a} 2 -(w-2r) \right)/2[/tex3]
[tex3]\frac{4r^2(w-r)}{w}=\frac{4r(w-r)}{(w-2r)}.\frac{\left(\frac{a} 2 -(w-2r) \right)}{2}[/tex3]
[tex3]\frac{4r^2(w-r)}{w}=\frac{4r(w-r)}{(w-2r)}.\left(\frac{a} 4 -\frac{(w-2r) }{2}\right)[/tex3]
Temos que, [tex3]a=\frac{4r(w-r)}{(w-2r)}[/tex3]
ou [tex3]\frac{a}{4}=\frac{r(w-r)}{(w-2r)}[/tex3]
, então:
[tex3]\frac{4r^2(w-r)}{w}=\frac{4r(w-r)}{(w-2r)}.\left(\frac{r(w-r)}{(w-2r)} -\frac{(w-2r) }{2}\right)[/tex3]
[tex3]\frac{4r^2(w-r)}{4r(w-r)}=\frac{w}{(w-2r)}.\left(\frac{r(w-r)}{(w-2r)} -\frac{(w-2r) }{2}\right)[/tex3]
[tex3]r=\frac{w}{(w-2r)}.\left(\frac{r(w-r)}{(w-2r)} -\frac{(w-2r) }{2}\right)[/tex3]
[tex3]r=\frac{w}{(w-2r)}.\frac{r(w-r)}{(w-2r)} -\frac{w}{(w-2r)}.\frac{(w-2r) }{2}[/tex3]
[tex3]r=\frac{w}{(w-2r)}.\frac{r(w-r)}{(w-2r)} -\frac{w}{2}[/tex3]
[tex3]r=\frac{wr(w-r)}{(w-2r)^2} -\frac{w}{2}[/tex3]
[tex3]r=\frac{[wr(w-r)]2-w(w-2r)^2}{[(w-2r)^2]2} [/tex3]
[tex3]r=\frac{[w^2r-wr^2]2-w(w^2-4.wr+4r^2)}{(w^2-4.wr+4r^2).2} [/tex3]
[tex3](w^2-4wr+4r^2)2r=[w^2r-wr^2].2-w(w^2-4wr+4r^2)[/tex3]
[tex3](w^2-4wr+4r^2)2r=2w^2r-2wr^2-(w^3-4w^2r+4wr^2)[/tex3]
[tex3]2w^2r-8wr^2+8r^3=2w^2r-2wr^2-w^3+4.w^2r-4wr^2[/tex3]
[tex3]2w^2r-8wr^2+8r^3=-w^3+6w^2r-6wr^2\rightarrow w^3+2w^2r-6w^2r-8wr^2+6wr^2+8r^2[/tex3]
[tex3]w^3-4w^2r-2wr^2+8r^3=(w^2-2r^2)(w-4r)=0[/tex3]
[tex3]\boxed{(w^2-2r^2)(w-4r)=0}[/tex3]
A solução válida que encontrei foi para [tex3]w=4r[/tex3]
Desse modo, como [tex3]w=CH[/tex3]
, então:
[tex3]CH=4r[/tex3]
[tex3]\boxed{r=\frac{CH}{4}}[/tex3]
