Resposta
gabarito:473
Ensino Médio ⇒ Combinatória
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teixeira1804
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Fev 2019
20
17:43
Combinatória
Quantos pares de inteiros positivos A e B possuem mínimo múltiplo comum 126000? Onde (A,B) é considerado o mesmo par que (B,A).
gabarito:473
gabarito:473
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MateusQqMD 
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Fev 2019
24
20:42
Re: Combinatória
Alguém tem alguma ideia?
"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."
Fev 2019
24
23:21
Re: Combinatória
Olá, MateusQqMD
Tinha pensado em fatorar 126000 e procurar algumas relações partindo disso, buscando a ideia inversa ao usual, que é fornecer dois números e você descobrir o MMC entre eles.
Tinha pensado em fatorar 126000 e procurar algumas relações partindo disso, buscando a ideia inversa ao usual, que é fornecer dois números e você descobrir o MMC entre eles.
Última edição: Planck (Dom 24 Fev, 2019 23:21). Total de 1 vez.
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MateusQqMD
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Fev 2019
25
00:11
Re: Combinatória
Eu acho que o caminho é por aí mesmo, mas não to conseguindo separar os fatores de 12600
"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."
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teixeira1804
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Fev 2019
25
01:23
Re: Combinatória
É isso mesmo! Consegui resolver , fatorando o 126000, os fatores são [tex3]2^{4}[/tex3]
*[tex3]3^{2}[/tex3]
*[tex3]5^{3}[/tex3]
*[tex3]7^{1}[/tex3]
Pensei assim , para achar os divisores, tem uma fórmulazinha ([tex3]\alpha 1[/tex3] +1)([tex3]\alpha 2[/tex3] +1)...([tex3]\alpha k[/tex3] +1)
como a questão pede os pares tem o mmc 126000, eu poderia fazer (2k+1) , o k é o expoente dos números da fatoração , ou seja (A,B) e (B,A),
fazendo isso (2*4+1)(2*2+1)(2*3+1)(2*1+1)=945, mas como a questão pede para eu considerar (A,B) o mesmo que (B,A) , e os pares (A,A) onde A=126000, eu estaria contando duas vezes , então
[tex3]\frac{945-1}{2}[/tex3] +1=473
não sei se é válida essa resolução , mas foi o que consegui kkkk, e bateu o gabarito, será que faz sentido pra vcs?
Pensei assim , para achar os divisores, tem uma fórmulazinha ([tex3]\alpha 1[/tex3] +1)([tex3]\alpha 2[/tex3] +1)...([tex3]\alpha k[/tex3] +1)
como a questão pede os pares tem o mmc 126000, eu poderia fazer (2k+1) , o k é o expoente dos números da fatoração , ou seja (A,B) e (B,A),
fazendo isso (2*4+1)(2*2+1)(2*3+1)(2*1+1)=945, mas como a questão pede para eu considerar (A,B) o mesmo que (B,A) , e os pares (A,A) onde A=126000, eu estaria contando duas vezes , então
[tex3]\frac{945-1}{2}[/tex3] +1=473
não sei se é válida essa resolução , mas foi o que consegui kkkk, e bateu o gabarito, será que faz sentido pra vcs?
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teixeira1804
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Fev 2019
25
01:40
Re: Combinatória
Sejam 126 ⋅ 103 = 24 ⋅ 32 ⋅ 53 ⋅ 7,
A = [tex3]2^{\alpha _{1}}[/tex3] ⋅ [tex3]3^{\alpha _{2}}[/tex3] ⋅ [tex3]5^{\alpha _{3}}[/tex3] ⋅ [tex3]7^{\alpha _{4}}[/tex3] e
B = [tex3]2^{\beta _{1}}[/tex3] ⋅ [tex3]3^{\beta _{2}}[/tex3] ⋅ [tex3]5^{\beta _{3}}[/tex3] ⋅ [tex3]7^{\beta _{1}}[/tex3] , com máx. { [tex3]\alpha _{1}[/tex3] , [tex3]\beta _{1}[/tex3] } = 4,
máx. {α2, β2} = 2, máx. {α3, β3} = 3 e
máx. {α4, β4} = 1.
Sendo máx. {x, y} = k, com k fixado e x, y
inteiros não negativos, devemos ter x = k
ou y = k. Há k pares ordenados (x, y) com
x = k e y < k (y d {0,1, ..., k – 1}), k pares
com x < k e y = k e um par com x = y = k.
Assim, há k + k + 1 = 2k + 1 pares (x, y) com
máx. {x, y} = k.
Desse modo, podemos escolher αi e βi, i =1, 2, 3, 4 e, consequentemente, o par ordenado (A, B) de (2 ⋅ 4 + 1)(2 ⋅ 2 + 1)(2 ⋅ 3 + 1)(2 ⋅ 1 + 1) = 945 maneiras.
Como consideramos (A, B) / (B, A), todos os
pares, exceto o par (A, A) com mmc (A, A) =
= 126 ⋅ 103 [tex3]\rightarrow [/tex3] A = 126 ⋅ 103, estão sendo
contados duas vezes. Logo o total pedido é [tex3]\frac{945-1}{2}[/tex3] +1= 473
Acredito que essa resolução esteja mais convincente
A = [tex3]2^{\alpha _{1}}[/tex3] ⋅ [tex3]3^{\alpha _{2}}[/tex3] ⋅ [tex3]5^{\alpha _{3}}[/tex3] ⋅ [tex3]7^{\alpha _{4}}[/tex3] e
B = [tex3]2^{\beta _{1}}[/tex3] ⋅ [tex3]3^{\beta _{2}}[/tex3] ⋅ [tex3]5^{\beta _{3}}[/tex3] ⋅ [tex3]7^{\beta _{1}}[/tex3] , com máx. { [tex3]\alpha _{1}[/tex3] , [tex3]\beta _{1}[/tex3] } = 4,
máx. {α2, β2} = 2, máx. {α3, β3} = 3 e
máx. {α4, β4} = 1.
Sendo máx. {x, y} = k, com k fixado e x, y
inteiros não negativos, devemos ter x = k
ou y = k. Há k pares ordenados (x, y) com
x = k e y < k (y d {0,1, ..., k – 1}), k pares
com x < k e y = k e um par com x = y = k.
Assim, há k + k + 1 = 2k + 1 pares (x, y) com
máx. {x, y} = k.
Desse modo, podemos escolher αi e βi, i =1, 2, 3, 4 e, consequentemente, o par ordenado (A, B) de (2 ⋅ 4 + 1)(2 ⋅ 2 + 1)(2 ⋅ 3 + 1)(2 ⋅ 1 + 1) = 945 maneiras.
Como consideramos (A, B) / (B, A), todos os
pares, exceto o par (A, A) com mmc (A, A) =
= 126 ⋅ 103 [tex3]\rightarrow [/tex3] A = 126 ⋅ 103, estão sendo
contados duas vezes. Logo o total pedido é [tex3]\frac{945-1}{2}[/tex3] +1= 473
Acredito que essa resolução esteja mais convincente
Última edição: teixeira1804 (Seg 25 Fev, 2019 01:56). Total de 1 vez.
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