Olimpíadas ⇒ Torneio das Cidades - 2001 (Congruencia) Tópico resolvido

[GabrielOBM]

Pode a soma dos algarismos de n somado com a soma dosalgarismos de n^3 ser igual a 2001?

[Ittalo25]

Queremos: [tex3]S(n) + S(n^3)=2001[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S(n) + S(n^3)=2001[/tex3]

Olhando módulo 9 por causa da soma dos algarismos:

[tex3]S(n) + S(n^3)=2001[/tex3]

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[tex3]S(n) + S(n^3)=2001[/tex3]

[tex3]n + n^3=3 \mod (9)[/tex3]

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[tex3]n + n^3=3 \mod (9)[/tex3]

So 9 casos possíveis:

[tex3]\begin{cases}
0+0 \equiv 0 \mod(9) \\
1+1 \equiv 2 \mod(9) \\
2+8 \equiv 1 \mod(9) \\
3+27 \equiv 3 \mod(9) \\
4+64 \equiv 5 \mod(9)\\
5+125 \equiv 4 \mod(9) \\
6+216 \equiv 6 \mod(9) \\
7+343 \equiv 8 \mod(9) \\
8+512 \equiv 7 \mod(9)
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
0+0 \equiv 0 \mod(9) \\
1+1 \equiv 2 \mod(9) \\
2+8 \equiv 1 \mod(9) \\
3+27 \equiv 3 \mod(9) \\
4+64 \equiv 5 \mod(9)\\
5+125 \equiv 4 \mod(9) \\
6+216 \equiv 6 \mod(9) \\
7+343 \equiv 8 \mod(9) \\
8+512 \equiv 7 \mod(9)
\end{cases}[/tex3]

Então teoricamente é possível quando [tex3]\boxed {n =9k+3} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed {n =9k+3} [/tex3]

Vou pensar em como achar esse número

[GabrielOBM]

Cheguei na mesma conclusão, não consrgui sair daí, será que é possível??

[Auto Excluído (ID:12031)]

acho que o enunciado está errado, me parece que você quis o problema 2 dessa prova aqui:

http://www.math.toronto.edu/oz/turgor/a ... oblems.pdf

ao meu ver ela pergunta sobre o número de dígitos não sobre a soma deles, posso estar errado.

Se a pergunta for sobre a soma do número de algarismo o problema fica mais simples:

o número de algarismos de [tex3]n[/tex3]

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[tex3]n[/tex3]

é [tex3]1+\lfloor log_{10}n\rfloor[/tex3]

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[tex3]1+\lfloor log_{10}n\rfloor[/tex3]

logo [tex3]1 + \lfloor log_{10}n\rfloor + 1 + \lfloor log_{10}n^3\rfloor = 2001 \iff 1999 = \lfloor log_{10}n\rfloor + \lfloor 3log_{10}n\rfloor[/tex3]

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[tex3]1 + \lfloor log_{10}n\rfloor + 1 + \lfloor log_{10}n^3\rfloor = 2001 \iff 1999 = \lfloor log_{10}n\rfloor + \lfloor 3log_{10}n\rfloor[/tex3]

e dai separar nos casos onde a parte fracionária do log de n vale:

[tex3]\{\log n\} \leq \frac13[/tex3]

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[tex3]\{\log n\} \leq \frac13[/tex3]

[tex3]\frac13\leq \{\log n\} < \frac23[/tex3]

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[tex3]\frac13\leq \{\log n\} < \frac23[/tex3]

[tex3]\frac23 \leq \{\log n\} <1[/tex3]

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[tex3]\frac23 \leq \{\log n\} <1[/tex3]

se assumirmos o primeiro caso: [tex3]1999 = 4\lfloor log n\rfloor[/tex3]

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[tex3]1999 = 4\lfloor log n\rfloor[/tex3]

absurdo
se assumirmos o segundo
[tex3]1999 = 1 + 4\lfloor log n\rfloor[/tex3]

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[tex3]1999 = 1 + 4\lfloor log n\rfloor[/tex3]

absurdo
assumindo o terceiro também chegamos num absurdo.
Acho que não é possível