Seja: [tex3]x(t) = \sum_{n=0}^{\infty} e^{-nT}.\delta (t-nT) [/tex3]
para [tex3]T>0[/tex3]
.
Determine a Transformada de Laplace de x(t) e sua região de convergência.
Ensino Superior ⇒ Transformada de Laplace
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lorramrj
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Dez 2018
10
10:03
Transformada de Laplace
Engenharia da Computação | PUC-RIO
O que sabemos não é muito. O que não sabemos é imenso.”
:-> [tex3]\textbf{S. P. Laplace}[/tex3]
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erihh3
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Dez 2018
15
21:38
Re: Transformada de Laplace
[tex3]L(x(t)) = L\left(\sum_{n=0}^{\infty} e^{-nT}.\delta (t-nT)\right) [/tex3]
Usando o fato que a transformada de laplace é uma transformação linear, tem-se:
[tex3]L(x(t)) = \sum_{n=0}^{\infty} e^{-nT}.L(\left(\delta (t-nT)\right) [/tex3]
Sabendo que [tex3]L\left(\delta (t-t_0)\right)=e^{-st_0}[/tex3] , pode-se dizer que
[tex3]L(x(t)) = \sum_{n=0}^{\infty} e^{-nT}.e^{-snT} =\sum_{n=0}^{\infty} e^{-(1+s)nT}[/tex3]
Vamos utilizar agora o método mais simples como critério de convergência: o da série geométrica. Ou seja, |q|<1.
No caso, [tex3]|e^{-(1+s)T}|<1[/tex3]
Daí,
[tex3](1+s)T>0[/tex3]
Como T é maior que 0, basta que
[tex3]1+s>0[/tex3]
[tex3]s>-1[/tex3]
Visto isso, a transformada de laplace de [tex3]x(t)[/tex3] não passará de uma soma de PG de razão [tex3]e^{-(1+s)T}[/tex3] . Portanto,
[tex3]L(x(t)) = \sum_{n=0}^{\infty}e^{-(1+s)nT}[/tex3]
[tex3]L(x(t)) = \frac{1}{1-e^{-(1+s)T}}[/tex3]
Usando o fato que a transformada de laplace é uma transformação linear, tem-se:
[tex3]L(x(t)) = \sum_{n=0}^{\infty} e^{-nT}.L(\left(\delta (t-nT)\right) [/tex3]
Sabendo que [tex3]L\left(\delta (t-t_0)\right)=e^{-st_0}[/tex3] , pode-se dizer que
[tex3]L(x(t)) = \sum_{n=0}^{\infty} e^{-nT}.e^{-snT} =\sum_{n=0}^{\infty} e^{-(1+s)nT}[/tex3]
Vamos utilizar agora o método mais simples como critério de convergência: o da série geométrica. Ou seja, |q|<1.
No caso, [tex3]|e^{-(1+s)T}|<1[/tex3]
Daí,
[tex3](1+s)T>0[/tex3]
Como T é maior que 0, basta que
[tex3]1+s>0[/tex3]
[tex3]s>-1[/tex3]
Visto isso, a transformada de laplace de [tex3]x(t)[/tex3] não passará de uma soma de PG de razão [tex3]e^{-(1+s)T}[/tex3] . Portanto,
[tex3]L(x(t)) = \sum_{n=0}^{\infty}e^{-(1+s)nT}[/tex3]
[tex3]L(x(t)) = \frac{1}{1-e^{-(1+s)T}}[/tex3]
Editado pela última vez por erihh3 em 16 Dez 2018, 19:51, em um total de 2 vezes.
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